[1, Ex.7,9 e 12, p.917] Calcule as integrais iteradas
integral1^4 integral0^1(2 x+y)^8 d x d y

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral iterada
integral1^4integral0^1(2x+y)^8,dx,dy
O conteúdo envolve integrais iteradas e a técnica de substituição para integrar em x.

Passo 2

Integrando em x usando a substituição u=2x+y. Temos du=2,dx ou dx=tfracdu2. Quando x=0, u=y; quando x=1, u=y+2. Então
integral0^1(2x+y)^8dx = 12integraly^y+2u^8du = 12[u^99]y^y+2 = (y+2)^9-y^918

Passo 3

Substituindo na integral em y, obtemos
integral1^4integral0^1(2x+y)^8dx,dy = integral1^4(y+2)^9-y^918dy = 118l(integral1^4(y+2)^9dy - integral1^4y^9dyr)

Passo 4

Calculando cada termo: use antiderivadas
integral(y+2)^9dy = (y+2)^1010, integral y^9dy = y^1010
Avalie de y=1 a y=4 (e de y+2=3 a 6), resultando em
118l(tfrac6^10-3^1010 - tfrac4^10-1^1010r) = 6^10-3^10-4^10+1180

Passo 5

Calculando os valores das potências: 6^10=60,466,176, 3^10=59,049, 4^10=1,048,576, 1^10=1. Então o numerador fica
60,466,176 - 59,049 - 1,048,576 +1 = 59,358,552
Logo,
integral1^4integral0^1(2x+y)^8dx,dy = 59,358,552180 = 4,946,54615

Resposta

4,946,54615

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