Prove que A triang<= varnothing=A, para todo A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer conjunto A, o seu simétrico com o conjunto vazio é ele mesmo: A triang<= varnothing = A. Vamos usar definições de teoria de conjuntos para chegar lá.

Passo 2

Precisamos lembrar a definição de diferença simétrica. Para dois conjuntos X e Y),
X triang<= Y = (X setminus Y) cup (Y setminus X)

Passo 3

Agora calculamos A setminus varnothing. Pelo fato de o conjunto vazio não conter nenhum elemento, retirar nada de A não elimina nenhum elemento. Logo,
A setminus varnothing = A

Passo 4

Em seguida, calculamos varnothing setminus A. Como o vazio não tem elementos, não há nada para retirar, então
varnothing setminus A = varnothing

Passo 5

Por fim, unimos os resultados pelos termos da definição de diferença simétrica:
A triang<= varnothing = (A setminus varnothing) cup (varnothing setminus A) = A cup varnothing = A

Resposta

A triang<= varnothing = A

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