Prove que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para qualquer conjunto
, o seu simétrico com o conjunto vazio é ele mesmo:
. Vamos usar definições de teoria de conjuntos para chegar lá.
Passo 2
Precisamos lembrar a definição de diferença simétrica. Para dois conjuntos
e
,
Passo 3
Agora calculamos
. Pelo fato de o conjunto vazio não conter nenhum elemento, retirar nada de
não elimina nenhum elemento. Logo,
Passo 4
Em seguida, calculamos
. Como o vazio não tem elementos, não há nada para retirar, então
Passo 5
Por fim, unimos os resultados pelos termos da definição de diferença simétrica: