Calcule a integral dupla identificando-a como o volume de um sólido. Esboce o sólido.
, onde
.
Passo 1
Neste exercício, queremos calcular a integral dupla
sobre o retângulo
. O conteúdo é cálculo de volume sob a superfície
usando integral dupla, e vamos precisar reconhecer a parte em
como trivial e a parte em
como área de um semicírculo de raio 1.
Passo 2
Identificamos a integral dupla como volume do sólido delimitado por
acima do retângulo
. Escrevendo-a como integral iterada:
Passo 3
Como
não depende de
, calculamos primeiro
Passo 4
Substituindo na integral em
, temos
Passo 5
Reconhecemos
como a área de um semicírculo de raio 1, cujo valor é
. Então
Passo 6
O sólido corresponde a um cilindro reto de raio 1 (no plano
–
) cortado ao meio (
), extrudido ao longo de
de
a
. No esboço, vemos um semicírculo de raio 1 em cada seção
, estendendo-se de
a
.
Resposta
O volume do sólido é
.