Calcule a integral dupla identificando-a como o volume de um sólido. Esboce o sólido.
integral duplaR raiz1-y^2 dA, onde R=[-2,2] times[-1,1].

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular a integral dupla integral duplaR raiz1 - y^2,dA sobre o retângulo R = [-2,2]times[-1,1]. O conteúdo é cálculo de volume sob a superfície z = raiz1-y^2 usando integral dupla, e vamos precisar reconhecer a parte em x como trivial e a parte em y como área de um semicírculo de raio 1.

Passo 2

Identificamos a integral dupla como volume do sólido delimitado por z = raiz1-y^2 acima do retângulo R. Escrevendo-a como integral iterada:
integral duplaR raiz1-y^2,dA = integraly=-1^1 integralx=-2^2 raiz1-y^2,dx,dy

Passo 3

Como raiz1-y^2 não depende de x, calculamos primeiro integralx=-2^2 raiz1-y^2,dx = (2 - (-2))raiz1-y^2 = 4raiz1-y^2

Passo 4

Substituindo na integral em y, temos
integraly=-1^1 4raiz1-y^2,dy = 4 integral-1^1 raiz1-y^2,dy

Passo 5

Reconhecemos integral-1^1 raiz1-y^2,dy como a área de um semicírculo de raio 1, cujo valor é pi/2. Então
4 integral-1^1 raiz1-y^2,dy = 4 cdot pi2 = 2pi

Passo 6

O sólido corresponde a um cilindro reto de raio 1 (no plano y z) cortado ao meio ( z>=0), extrudido ao longo de x de -2 a 2. No esboço, vemos um semicírculo de raio 1 em cada seção x=const, estendendo-se de x=-2 a x=2.

Resposta

O volume do sólido é 2pi.

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