[1, Ex.3, 4 e 6 e p.924] Calcule as integrais iteradas.
integral0^1 integral0^x raiz1-x^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1!integral0^xraiz1 - x^2,dy,dx
Aqui o conteúdo é integral iterada: primeiro integramos em y, tratando x como constante, e depois em x. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e uma substituição para resolver a parte em x.

Passo 2

Perceba que na integral interna raiz1 - x^2 não depende de y. Logo, ao integrar em y de 0 a x, basta multiplicar por x:
integral0^xraiz1 - x^2,dy = xraiz1 - x^2
Então a integral original vira
integral0^1xraiz1 - x^2,dx

Passo 3

Para calcular
integral0^1xraiz1 - x^2,dx
vamos usar a substituição u = 1 - x^2, daí du = -2x,dx ou x,dx = -tfrac12du. Quando x=0, u=1; quando x=1, u=0. Assim temos
integral0^1xraiz1 - x^2,dx = -tfrac12integral1^0u^1/2,du = tfrac12integral0^1u^1/2,du

Passo 4

Por fim, calcule
integral0^1u^1/2,du = l[tfracu^3/23/2r]0^1 = tfrac23
Multiplicando por 1/2
tfrac12cdottfrac23 = tfrac13

Resposta

tfrac13

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