[3. p.240-244] Calcular integral duplaD f(x, y) d A, onde D é o triângulo com os dois vértices dados e o outro na origem.
f(x, y)=e^x^2 e (1,0),(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaD f(x, y) , dA, onde D é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). A função que vamos integrar é f(x, y) = e^x^2. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração para a região triangular D e entender como integrar uma função que depende apenas de uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. Ela é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1). Isso significa que o triângulo está no primeiro quadrante do plano xy, estendendo-se de x = 0 a x = 1. Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de y para cada x no intervalo de 0 a 1.

Passo 3

Observando o triângulo, para cada valor de x entre 0 e 1, o valor de y vai de 0 até a linha que conecta (1,0) a (1,1), que é simplesmente y = x. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integral duplaD e^x^2 , dA = integralx=0^1 ( integraly=0^x e^x^2 , dy ) dx
Como e^x^2 não depende de y, podemos simplificar a integral interna.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a y:
integraly=0^x e^x^2 , dy = e^x^2 integraly=0^x dy = e^x^2 cdot (x - 0) = x e^x^2
Agora, a integral dupla se reduz a:
integral0^1 x e^x^2 , dx
Para resolver essa integral, usamos a substituição. Seja u = x^2, então du = 2x , dx, ou seja, x , dx = du2. Substituindo:
integral0^1 x e^x^2 , dx = 12 integralu=0^1 e^u , du = 12 [ e^u ]0^1 = 12 (e^1 - e^0) = e - 12

Resposta

A integral dupla vale e - 12.

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