[3. p.240-244] Calcular
, onde
é o triângulo com os dois vértices dados e o outro na origem.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde
é um triângulo com vértices em
,
e
. A função que vamos integrar é
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, mais especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar definir os limites de integração para a região triangular
e entender como integrar uma função que depende apenas de uma das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela é um triângulo com vértices em
,
e
. Isso significa que o triângulo está no primeiro quadrante do plano
, estendendo-se de
a
. Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de
para cada
no intervalo de 0 a 1.
Passo 3
Observando o triângulo, para cada valor de
entre 0 e 1, o valor de
vai de
até a linha que conecta
a
, que é simplesmente
. Então, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Como
não depende de
, podemos simplificar a integral interna.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, a integral dupla se reduz a:
Para resolver essa integral, usamos a substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Resposta
A integral dupla vale
.