Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
19. arctg nn=1^+infty

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a sequência an=arctan(n), com n=1,2,dots, é estritamente crescente usando diferenciação. O conteúdo é monotonicidade de funções via derivada, e vamos precisar estender an para uma função f(x)=arctan(x) em R e estudar f'(x).

Passo 2

Definimos a função f:RtoR dado por f(x)=arctan(x). Essa é a extensão natural da sequência para todos os reais, e agora calculamos a derivada de f.
A derivada de f(x)=arctan(x) é
f'(x)=ddxl(arctan(x)r)=11+x^2

Passo 3

Como para todo xinR vale 1+x^2>0, temos f'(x)>0 para todo x. Logo, f é estritamente crescente em R.
Quando restringimos f aos inteiros positivos, isto é, consideramos an=f(n), a monotonicidade se mantém. Portanto, a sequência arctan(n)n=1^+infty também é estritamente crescente.

Resposta

A sequência é estritamente crescente.

Exercícios relacionados