Use diferenciação para mostrar que a sequência dada é estritamente crescente ou estritamente decrescente.
19.
19.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que a sequência
, com
, é estritamente crescente usando diferenciação. O conteúdo é monotonicidade de funções via derivada, e vamos precisar estender
para uma função
em
e estudar
.
Passo 2
Definimos a função
dado por
. Essa é a extensão natural da sequência para todos os reais, e agora calculamos a derivada de
.
A derivada de é
A derivada de
Passo 3
Como para todo
vale
, temos
para todo
. Logo,
é estritamente crescente em
.
Quando restringimos aos inteiros positivos, isto é, consideramos
, a monotonicidade se mantém. Portanto, a sequência
também é estritamente crescente.
Quando restringimos
Resposta
A sequência é estritamente crescente.