Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
g)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis separadamente. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e a derivada de funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
. Isso significa que vamos considerar
como uma constante e derivar em relação a
.
A função é
. Aqui, temos um produto entre
e
, então vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é:
A derivada de
em relação a
é 1, então:
Agora, derivamos
em relação a
. Usamos a regra da cadeia:
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, consideramos
como uma constante e derivamos em relação a
.
A função é
. Como
é constante, podemos tratar
como um multiplicador:
Derivando
em relação a
:
Substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e