Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
g) f(u, v)=u ln (u v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis separadamente. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de derivação, como a regra do produto e a derivada de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial u = ddu(u) cdot ln(u v) + u cdot ddu(ln(u v)) em relação a partial fpartial u = 1 cdot ln(u v) + u cdot ddu(ln(u v)) , que é denotada por ddu(ln(u v)) = 1u v cdot v = vu v = 1u . Isso significa que vamos considerar partial fpartial u = ln(u v) + u cdot 1u = ln(u v) + 1 como uma constante e derivar em relação a .
A função é . Aqui, temos um produto entre e , então vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é:
A derivada de em relação a é 1, então:
Agora, derivamos em relação a . Usamos a regra da cadeia:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial v = u cdot ddv(ln(u v)) em relação a ddv(ln(u v)) = 1u v cdot u = uu v = 1v , que é partial fpartial v = u cdot 1v = uv . Aqui, consideramos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é . Como é constante, podemos tratar como um multiplicador:
Derivando em relação a :
Substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função partial fpartial u = ln(u v) + 1 são:
partial fpartial v = uv
e

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