[1, Exercício 4 (pág. 92)] Considere o lançamento de dois dados simultaneamente (admita que os dados são equilibrados). Para cada um dos itens a seguir, determine o campo de variação da variável aleatória X, bem como sua distribuição de probabilidades:
X é o produto dos valores observados;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz: “Lance dois dados (justos) e seja X o produto dos valores que saem.”
Conteúdo: probabilidade discreta e variáveis aleatórias.
O que precisamos:
  1. Entender que o espaço amostral S tem 6×6 = 36 resultados igualmente prováveis.
  2. Saber que o campo de variação de X é o conjunto de valores que X pode assumir (ou seja, todos os produtos i·j com i,j∈{1,…,6}).
  3. Calcular, para cada valor x, P(X=x) = número de pares (i,j) com i·j = x, dividido por 36.

Passo 2

Definindo o espaço amostral:
S = {(i,j) | i=1,…,6 e j=1,…,6}.
Como os dados são equilibrados, cada par (i,j) tem probabilidade 1/36.
Teoria aplicada: em variáveis discretas com espaço finito e equiprobável, P(X=x) = |{ω∈S: X(ω)=x}|/|S|.

Passo 3

Campo de variação de X = {i·j | i,j∈{1,…,6}}.
Vamos listar todos os produtos possíveis e retirar repetições:
1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36.
Isso é o conjunto de valores que X pode tomar.

Passo 4

Agora conta-se quantas vezes cada produto aparece em S e divide por 36:
– 1 aparece só em (1,1): 1 vez → P(X=1)=1/36
– 2 em (1,2),(2,1): 2 vezes → 2/36
– 3 em (1,3),(3,1): 2 vezes → 2/36
– 4 em (1,4),(4,1),(2,2): 3 vezes → 3/36
– 5 em (1,5),(5,1): 2 vezes → 2/36
– 6 em (1,6),(6,1),(2,3),(3,2): 4 vezes → 4/36
– 8 em (2,4),(4,2): 2 vezes → 2/36
– 9 em (3,3): 1 vez → 1/36
– 10 em (2,5),(5,2): 2 vezes → 2/36
– 12 em (2,6),(6,2),(3,4),(4,3): 4 vezes → 4/36
– 15 em (3,5),(5,3): 2 vezes → 2/36
– 16 em (4,4): 1 vez → 1/36
– 18 em (3,6),(6,3): 2 vezes → 2/36
– 20 em (4,5),(5,4): 2 vezes → 2/36
– 24 em (4,6),(6,4): 2 vezes → 2/36
– 25 em (5,5): 1 vez → 1/36
– 30 em (5,6),(6,5): 2 vezes → 2/36
– 36 em (6,6): 1 vez → 1/36

Resposta

Campo de variação:
{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36}
Distribuição de probabilidade pX(x)= 136,&xin1,9,16,25,36,[6pt] 236,&xin2,3,5,8,10,15,18,20,24,30,[6pt] 336,&x=4,[4pt] 436,&xin6,12,[4pt] 0,&caso contrário :
á

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