Cerca de 30 % dos adultos americanos estão tentando perder peso. Você seleciona aleatoriamente oito adultos americanos. Determine a probabilidade de que o número desses oito adultos americanos que estão tentando perder peso seja (a) exatamente três, (b) pelo menos três e © mais que três. (Fonte: Gallup.)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos que cerca de 30% dos adultos americanos estão tentando perder peso. O exercício nos pede para calcular a probabilidade de, em uma seleção aleatória de oito adultos:
a) Exatamente três estão tentando perder peso.
b) Pelo menos três estão tentando perder peso.
c) Mais que três estão tentando perder peso.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é adequada para calcular probabilidades em situações com duas alternativas (sucesso ou fracasso) em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. A fórmula para calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o número de combinações de n itens tomados k de cada vez.
  • p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • 1 - p é a probabilidade de fracasso.

Passo 3

Vamos identificar os valores que precisamos:
  • n = 8 (número de adultos selecionados)
  • p = 0.30 (probabilidade de um adulto estar tentando perder peso)
  • k varia conforme a parte da questão:
    • (a) k = 3
    • (b) k >= 3 (ou seja, 3 ou mais)
    • © k > 3 (ou seja, mais que 3)

Passo 4

Começaremos com a parte (a): encontrar a probabilidade de exatamente três adultos estarem tentando perder peso.
Aplicando a fórmula da Distribuição Binomial:
P(X = 3) = binom83 (0.30)^3 (0.70)^5
Calculando o coeficiente binomial binom83:
binom83 = 8!3!(8-3)! = 403206 times 120 = 56
Agora, substituindo os valores:
P(X = 3) = 56 times (0.30)^3 times (0.70)^5
Calculando os termos:
(0.30)^3 = 0.027 (0.70)^5 approx 0.16807
Então:
P(X = 3) approx 56 times 0.027 times 0.16807 approx 0.2548 ou 25.48%

Passo 5

Para a parte (b): encontrar a probabilidade de pelo menos três adultos estarem tentando perder peso.
Isso significa que queremos a soma das probabilidades de 3, 4, 5, 6, 7 e 8 sucessos.
Matematicamente:
P(X >= 3) = sumk=3^8 P(X = k)
Isso pode ser calculado somando cada uma das probabilidades P(X = 3) a P(X = 8) usando a fórmula da Distribuição Binomial.

Passo 6

Alternativamente, podemos usar uma abordagem mais simples calculando 1 menos a probabilidade de ter menos de 3 sucessos (ou seja, 0, 1 ou 2).
P(X >= 3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]
Vamos calcular cada termo:
  1. P(X = 0):
P(X = 0) = binom80 (0.30)^0 (0.70)^8 = 1 times 1 times 0.05764801 approx 0.05765
  1. P(X = 1):
P(X = 1) = binom81 (0.30)^1 (0.70)^7 = 8 times 0.30 times 0.0823543 approx 0.19765
  1. P(X = 2):
P(X = 2) = binom82 (0.30)^2 (0.70)^6 = 28 times 0.09 times 0.117649 approx 0.2973
Somando essas probabilidades:
P(X < 3) = 0.05765 + 0.19765 + 0.2973 approx 0.5526
Então,
P(X >= 3) = 1 - 0.5526 = 0.4474 ou 44.74%

Passo 7

Para a parte ©: encontrar a probabilidade de mais que três adultos estarem tentando perder peso.
Isso significa que queremos a soma das probabilidades de 4, 5, 6, 7 e 8 sucessos.
Matematicamente:
P(X > 3) = sumk=4^8 P(X = k)
Usando a mesma abordagem da parte (b), podemos calcular:
P(X > 3) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)]
Já calculamos P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2) e P(X = 3):
P(X > 3) = 1 - (0.05765 + 0.19765 + 0.2973 + 0.2548) approx 1 - 0.8074 = 0.1926 ou 19.26%

Resposta

a) A probabilidade de exatamente três adultos estarem tentando perder peso é aproximadamente 25.48%.
b) A probabilidade de pelo menos três adultos estarem tentando perder peso é aproximadamente 44.74%.
c) A probabilidade de mais que três adultos estarem tentando perder peso é aproximadamente 19.26%.

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