Cerca de
dos adultos americanos estão tentando perder peso. Você seleciona aleatoriamente oito adultos americanos. Determine a probabilidade de que o número desses oito adultos americanos que estão tentando perder peso seja (a) exatamente três, (b) pelo menos três e © mais que três. (Fonte: Gallup.)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos que cerca de
dos adultos americanos estão tentando perder peso. O exercício nos pede para calcular a probabilidade de, em uma seleção aleatória de oito adultos:
a) Exatamente três estão tentando perder peso.
b) Pelo menos três estão tentando perder peso.
c) Mais que três estão tentando perder peso.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é adequada para calcular probabilidades em situações com duas alternativas (sucesso ou fracasso) em um número fixo de tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. A fórmula para calcular a probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas é:
Onde:
-
é o número de combinações de itens tomados de cada vez. -
é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa. -
é a probabilidade de fracasso.
Passo 3
Vamos identificar os valores que precisamos:
-
(número de adultos selecionados) -
(probabilidade de um adulto estar tentando perder peso) -
varia conforme a parte da questão: - (a)
- (b)
(ou seja, 3 ou mais) - ©
(ou seja, mais que 3)
- (a)
Passo 4
Começaremos com a parte (a): encontrar a probabilidade de exatamente três adultos estarem tentando perder peso.
Aplicando a fórmula da Distribuição Binomial:
Calculando o coeficiente binomial
:
Agora, substituindo os valores:
Calculando os termos:
Então:
Passo 5
Para a parte (b): encontrar a probabilidade de pelo menos três adultos estarem tentando perder peso.
Isso significa que queremos a soma das probabilidades de 3, 4, 5, 6, 7 e 8 sucessos.
Matematicamente:
Isso pode ser calculado somando cada uma das probabilidades
a
usando a fórmula da Distribuição Binomial.
Passo 6
Alternativamente, podemos usar uma abordagem mais simples calculando 1 menos a probabilidade de ter menos de 3 sucessos (ou seja, 0, 1 ou 2).
Vamos calcular cada termo:
-
:
-
:
-
:
Somando essas probabilidades:
Então,
Passo 7
Para a parte ©: encontrar a probabilidade de mais que três adultos estarem tentando perder peso.
Isso significa que queremos a soma das probabilidades de 4, 5, 6, 7 e 8 sucessos.
Matematicamente:
Usando a mesma abordagem da parte (b), podemos calcular:
Já calculamos
,
,
e
:
Resposta
a) A probabilidade de exatamente três adultos estarem tentando perder peso é aproximadamente 25.48%.
b) A probabilidade de pelo menos três adultos estarem tentando perder peso é aproximadamente 44.74%.
c) A probabilidade de mais que três adultos estarem tentando perder peso é aproximadamente 19.26%.