[1, Exercício 4 (pág. 92)] Considere o lançamento de dois dados simultaneamente (admita que os dados são equilibrados). Para cada um dos itens a seguir, determine o campo de variação da variável aleatória , bem como sua distribuição de probabilidades: é a diferença entre o maior valor observado e o menor valor observado.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente vai lançar dois dados justos ao mesmo tempo e olhar para a variável aleatória , que é a diferença entre o maior resultado e o menor resultado que aparecerem nos dois dados.
Conteúdo: variáveis aleatórias discretas, espaço amostral finito e distribuição de probabilidade.
O que precisamos:
Listar todos os possíveis valores que pode assumir (o chamado campo de variação ou suporte).
Calcular a probabilidade de cada valor de usando contagem de casos favoráveis no espaço amostral de 36 resultados equiprováveis.
Passo 2
Definindo o espaço amostral e o suporte de .
Espaço amostral : todas as 36 duplas ordenadas com , cada uma com probabilidade .
só pode dar resultados de 0 até 5, porque a maior diferença entre dois números de 1 a 6 é .
Logo o suporte de é .
Passo 3
Contando quantos resultados dão .
Seja
- Para k=0: a diferença é zero quando i=j. Temos 6 pares (1,1),(2,2),dots,(6,6), logo N0=6.
- Para k>=1: a condição max(i,j)-min(i,j)=k equivale a |i-j|=k.
1. Se |i-j|=k, o valor menor pode ser 1,2,dots,6-k (são 6-k escolhas).
2. Para cada escolha do menor, o maior é fixo (menor + k), e você pode ter isso em duas ordens: (i,j) ou (j,i).
Logo Nk = 2,(6-k), k=1,2,3,4,5
Passo 4
Calculando as probabilidades:
P(X=k) = Nk36
Substituindo:
- P(X=0)=636=16
- Para k=1,2,3,4,5: P(X=k)=2,(6-k)36=6-k18
Passo 5
Resumo da distribuição de probabilidade de X:
Suporte: 0,1,2,3,4,5.
Para kin0,1,2,3,4,5,