[1, Exercício 4 (pág. 92)] Considere o lançamento de dois dados simultaneamente (admita que os dados são equilibrados). Para cada um dos itens a seguir, determine o campo de variação da variável aleatória X, bem como sua distribuição de probabilidades:
X é a diferença entre o maior valor observado e o menor valor observado.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente vai lançar dois dados justos ao mesmo tempo e olhar para a variável aleatória X, que é a diferença entre o maior resultado e o menor resultado que aparecerem nos dois dados.
Conteúdo: variáveis aleatórias discretas, espaço amostral finito e distribuição de probabilidade.
O que precisamos:
  1. Listar todos os possíveis valores que X pode assumir (o chamado campo de variação ou suporte).
  2. Calcular a probabilidade de cada valor de X usando contagem de casos favoráveis no espaço amostral de 36 resultados equiprováveis.

Passo 2

Definindo o espaço amostral e o suporte de X.
  • Espaço amostral Omega: todas as 36 duplas ordenadas (i,j) com i,jin1,2,3,4,5,6, cada uma com probabilidade 1/36.
  • X = maxi,j - mini,j só pode dar resultados de 0 até 5, porque a maior diferença entre dois números de 1 a 6 é 6-1=5.
    Logo o suporte de X é 0,1,2,3,4,5.

Passo 3

Contando quantos resultados dão X = k.
Seja
Nk = l|(i,j)in1,dots,6^2 : max(i,j)-min(i,j)=kr|
- Para k=0: a diferença é zero quando i=j. Temos 6 pares (1,1),(2,2),dots,(6,6), logo N0=6.
- Para k>=1: a condição max(i,j)-min(i,j)=k equivale a |i-j|=k.
1. Se |i-j|=k, o valor menor pode ser 1,2,dots,6-k (são 6-k escolhas).
2. Para cada escolha do menor, o maior é fixo (menor + k), e você pode ter isso em duas ordens: (i,j) ou (j,i).
Logo
Nk = 2,(6-k), k=1,2,3,4,5

Passo 4

Calculando as probabilidades:
P(X=k) = Nk36
Substituindo:
- P(X=0)=636=16
- Para k=1,2,3,4,5:
P(X=k)=2,(6-k)36=6-k18

Passo 5

Resumo da distribuição de probabilidade de X:
Suporte: 0,1,2,3,4,5.
Para kin0,1,2,3,4,5,
P(X=k)= dfrac636=tfrac16,&k=0,[6pt] dfrac2,(6-k)36=dfrac6-k18,&k=1,2,3,4,5

Resposta

Suporte de X: 0,1,2,3,4,5.
Função de probabilidade:
P(X=k)= 16,&k=0,[4pt] 6-k18,&k=1,2,3,4,5

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