Se X é uma variável aleatória N(95 ; 56,25), isto é, distribuição Normal com média 95 e variância 56,25 , determinar b tal que:
Prob(X>b)=0,9750

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Normal com média $ 95 $ e variância $ 56,25 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ b $ tal que a probabilidade de $ X $ ser maior que $ b $ seja $ 0,9750 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição Normal e como usar a tabela da Z para encontrar probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição Normal é simétrica em torno da sua média. A média aqui é $ 95 $ e a variância é $ 56,25 95 áã \sigma $) de $ \sqrt{56,25} = 7,5 $.

Passo 3

Queremos encontrar $ b $ tal que $ \operatorname{Prob}(X > b) = 0,9750 $. Isso significa que $ 97,50% $ das observações estão acima de $ b $. Mas as tabelas de normal padrão geralmente nos dão a probabilidade acumulada da esquerda. Então, vamos reescrever a probabilidade:
b

Passo 4

Agora, precisamos achar o valor de $ b $ correspondente a uma probabilidade acumulada de $ 0,0250 $ na distribuição Normal padrão. Isso é feito usando a Z-score, que padroniza a distribuição normal.
b
Onde:
  • $ \mu = 95 $ (média)
  • $ \sigma = 7,5 $ (desvio padrão)
  • $ Z $ é o valor da tabela Z que corresponde a $ 0,0250 $ de probabilidade acumulada.

Passo 5

Consultando a tabela Z, encontramos que o valor de $ Z $ que corresponde a uma probabilidade acumulada de $ 0,0250 $ é aproximadamente $ -1,96 $. O sinal negativo indica que $ b $ está abaixo da média.
Z

Passo 6

Agora, vamos calcular:
-1,96 cdot 7,5 = -14,70
Então:
b = 95 - 14,70 = 80,30

Resposta

O valor de $ b $ é $ 80,30 $.

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