Se X é uma variável aleatória
, isto é, distribuição Normal com média 95 e variância 56,25 , determinar
tal que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição Normal com média $ 95 $ e variância $ 56,25 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ b $ tal que a probabilidade de $ X $ ser maior que $ b $ seja $ 0,9750 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a distribuição Normal e como usar a tabela da Z para encontrar probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição Normal é simétrica em torno da sua média. A média aqui é $ 95 $ e a variância é $ 56,25
\sigma $) de $ \sqrt{56,25} = 7,5 $.
Passo 3
Queremos encontrar $ b $ tal que $ \operatorname{Prob}(X > b) = 0,9750 $. Isso significa que $ 97,50% $ das observações estão acima de $ b $. Mas as tabelas de normal padrão geralmente nos dão a probabilidade acumulada da esquerda. Então, vamos reescrever a probabilidade:
Passo 4
Agora, precisamos achar o valor de $ b $ correspondente a uma probabilidade acumulada de $ 0,0250 $ na distribuição Normal padrão. Isso é feito usando a Z-score, que padroniza a distribuição normal.
Onde:
- $ \mu = 95 $ (média)
- $ \sigma = 7,5 $ (desvio padrão)
- $ Z $ é o valor da tabela Z que corresponde a $ 0,0250 $ de probabilidade acumulada.
Passo 5
Consultando a tabela Z, encontramos que o valor de $ Z $ que corresponde a uma probabilidade acumulada de $ 0,0250 $ é aproximadamente $ -1,96 $. O sinal negativo indica que $ b $ está abaixo da média.
Passo 6
Agora, vamos calcular:
Então:
Resposta
O valor de $ b $ é $ 80,30 $.