[1 \frac{1}{2} Pontos] Seja y=f(x) uma função diferenciável tal que, para todo x \in D(f), o ponto (x, f(x)) é solução da equação x^{3}+2 x^{2} \operatorname{sen} y-5 y^{2}=1. Determine \frac{d y}{d x}=f^{\prime}(x) (Dica: use derivação implícita).

Passo 1

Resumo do que o enunciado dá e pede.
Dado: uma função diferenciável y=f(x) tal que, para todo x em D(f), o ponto (x,f(x)) satisfaz a equação
x^{3}+2x^{2}\sin y-5y^{2}=1.
Pede-se: determinar \dfrac{dy}{dx}=f'(x).
Informações relevantes listadas:
  • A igualdade vale para todas as x do domínio de f.
  • Em toda derivação, devemos tratar y como função de x (isto é, y=y(x)).
  • A dica do enunciado é usar derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y depende de x.

Passo 2

Conceitos necessários (explicadinho, sem pular etapas).
  1. Regra da cadeia: se u é função de x e g é função de u, então
\frac{d}{dx}g(u(x))=g'(u(x))\cdot u'(x).
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2.
  1. Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções de x, então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}\big(x^2\sin x\big)=2x\sin x + x^2\cos x.
  1. Derivadas comuns:
\frac{d}{dx}x^3=3x^2,\qquad \frac{d}{dx}y^2=2y\cdot\frac{dy}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\sin y=\cos y\cdot\frac{dy}{dx},
onde em todas as ocorrências de y usamos a regra da cadeia porque y=y(x).

Passo 3

Aplicando a derivação termo a termo na equação dada, lembrando que derivamos em relação a x e que y depende de x.
A equação é
x^{3}+2x^{2}\sin y-5y^{2}=1.
Derivando ambos os lados em relação a x:
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Para 2x^{2}\sin y usamos a regra do produto com u(x)=2x^{2} e v(x)=\sin y.
    • u'(x)=4x.
    • v'(x)=\cos y\cdot y' (pela regra da cadeia).
      Então
    \frac{d}{dx}\big(2x^{2}\sin y\big)=4x\sin y + 2x^{2}\cos y\cdot y'.
  • Para -5y^{2}, usando regra da cadeia,
    \frac{d}{dx}\big(-5y^{2}\big)=-5\cdot 2y\cdot y'=-10y\,y'.
  • Derivada do lado direito 1 é 0.

Passo 4

Juntando todas as derivadas na mesma igualdade e agrupando os termos que contêm y'.
Somando os resultados do Passo 3 obtemos
3x^{2} + \big(4x\sin y + 2x^{2}\cos y\cdot y'\big) + \big(-10y\,y'\big)=0.
Reorganizando os termos (colocando os que têm y' juntos):
3x^{2} + 4x\sin y + \big(2x^{2}\cos y - 10y\big)\,y' = 0.
Isolando o fator que multiplica y' em um lado:
\big(2x^{2}\cos y - 10y\big)\,y' = -3x^{2} - 4x\sin y.
Observação: até aqui foi feita toda a diferenciação e coleta de termos; falta apenas dividir pelo coeficiente de y' para obter \dfrac{dy}{dx}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=f'(x)=\frac{-3x^{2}-4x\sin y}{2x^{2}\cos y-10y}=\frac{3x^{2}+4x\sin y}{10y-2x^{2}\cos y}.

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