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Pontos] Seja
uma função diferenciável tal que, para todo
, o ponto
é solução da equação
. Determine
(Dica: use derivação implícita).
Passo 1
Resumo do que o enunciado dá e pede.
Dado: uma função diferenciável
tal que, para todo
em
, o ponto
satisfaz a equação
Pede-se: determinar
.
Informações relevantes listadas:
- A igualdade vale para todas as
do domínio de . - Em toda derivação, devemos tratar
como função de (isto é, ). - A dica do enunciado é usar derivação implícita: vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
, lembrando que depende de .
Passo 2
Conceitos necessários (explicadinho, sem pular etapas).
- Regra da cadeia: se
é função de e é função de , então
Exemplo rápido:
.
- Regra do produto: se
e são funções de , então
Exemplo rápido:
.
- Derivadas comuns:
onde em todas as ocorrências de
usamos a regra da cadeia porque
.
Passo 3
Aplicando a derivação termo a termo na equação dada, lembrando que derivamos em relação a
e que
depende de
.
A equação é
Derivando ambos os lados em relação a
:
-
Derivada de
é . -
Para
usamos a regra do produto com e . -
. -
(pela regra da cadeia).
Então
-
-
Para
, usando regra da cadeia, -
Derivada do lado direito
é .
Passo 4
Juntando todas as derivadas na mesma igualdade e agrupando os termos que contêm
.
Somando os resultados do Passo 3 obtemos
Reorganizando os termos (colocando os que têm
juntos):
Isolando o fator que multiplica
em um lado:
Observação: até aqui foi feita toda a diferenciação e coleta de termos; falta apenas dividir pelo coeficiente de
para obter
.