Questão 4) Calcule \iiint_{E} z d V, onde E é o sólido que está entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_{E} z\, dV, onde E é o sólido que está entre as esferas \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4) e \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9).
Informações dadas:
  • A região E é o “casco esférico” entre as esferas de raio \(2) e \(3) centradas na origem (isto é, todos os pontos com \(2\le \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\le 3)).
  • A função a integrar é \(z).
  • Queremos o valor de \displaystyle \iiint_{E} z\, dV.

Passo 2

Decidimos usar coordenadas esféricas (explico o porquê e as relações abaixo) para escrever a integral de forma simples. Antes de montar a integral, vou explicar o que são as coordenadas esféricas e como transformar x,y,z e o elemento de volume dV.
Definições e relações (coordenadas esféricas):
x = \rho \sin\varphi \cos\theta,\qquad y = \rho \sin\varphi \sin\theta,\qquad z = \rho \cos\varphi,
onde:
  • \rho\ge0 é a distância do ponto à origem (raio),
  • \varphi\in[0,\pi] é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo colatitude),
  • \theta\in[0,2\pi) é o ângulo no plano xy (azimute).
Essas fórmulas vêm da decomposição geométrica: \rho projeta o ponto na esfera de raio \rho, \varphi mede a inclinação em relação ao eixo z, e \theta gira no plano xy.

Passo 3

Elemento de volume em coordenadas esféricas:
dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Breve justificativa intuitiva: pequenos volumes esféricos são aproximadamente um produto de comprimentos (d\rho), (\rho\, d\varphi) e (\rho\sin\varphi\, d\theta), multiplicando dá \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta. Esse fator \rho^{2}\sin\varphi é o “Jacobiano” da transformação.
Também transformamos o integrando:
z = \rho\cos\varphi.

Passo 4

Agora definimos os limites para \rho,\varphi,\theta correspondentes à região E. Como E é o casco entre as esferas de raio 2 e 3, temos:
2 \le \rho \le 3,\qquad 0 \le \varphi \le \pi,\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
Portanto a integral fica
\iiint_{E} z\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{3} (\rho\cos\varphi)\; \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Posso reorganizar os fatores:
\iiint_{E} z\, dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{3} \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\; d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 5

Integro primeiro em relação a \rho. A integral em \rho é
\int_{2}^{3} \rho^{3}\; d\rho.
Calculo a primitiva: uma primitiva de \rho^{3} é \tfrac{1}{4}\rho^{4}. Assim
\int_{2}^{3} \rho^{3}\; d\rho = \left.\tfrac{1}{4}\rho^{4}\right|_{2}^{3} = \tfrac{1}{4}\bigl(3^{4}-2^{4}\bigr) = \tfrac{1}{4}\bigl(81-16\bigr) = \tfrac{65}{4}.
Substituindo esse resultado na integral, obtemos
\iiint_{E} z\, dV = \frac{65}{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\; d\varphi\; d\theta.

Passo 6

Agora foco na integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\; d\varphi.
Faço a substituição simples u=\sin\varphi. Então du=\cos\varphi\, d\varphi. Quando \varphi=0, u=\sin 0=0. Quando \varphi=\pi, u=\sin\pi=0. Assim
\int_{0}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\; d\varphi = \int_{u=0}^{u=0} u\; du.
Essa integral entre limites iguais vale 0. Alternativamente poderia notar que \sin\varphi é simétrica e \cos\varphi muda de sinal de forma que a integral sobre [0,\pi] cancela, resultando em 0.
Portanto
\int_{0}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\; d\varphi = 0.

Passo 7

Voltando à integral completa:
\iiint_{E} z\, dV = \frac{65}{4}\int_{0}^{2\pi}\Biggl(\int_{0}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\; d\varphi\Biggr) d\theta = \frac{65}{4}\int_{0}^{2\pi} 0\; d\theta = 0.
Portanto a integral vale 0.

Passo 8

Comentário intuitivo (jeito rápido que costuma funcionar na prova): a região E é simétrica em relação ao plano z=0 (para cada ponto com coordenada z existe o ponto espelhado com -z). A função integranda z é ímpar em relação a essa simetria (muda de sinal ao refletir z\mapsto -z). Logo a contribuição positiva acima do plano cancela exatamente a contribuição negativa abaixo do plano, dando integral zero. Esse argumento evita cálculos e é muito útil para economizar tempo na prova.

Resposta

0

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