Questão 4) Calcule \iiint_{E} z d V, onde E é o sólido que está entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla \iiint_{E} z\, dV, onde E é o sólido que está entre as esferas \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4) e \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9).
Informações dadas:
A região E é o “casco esférico” entre as esferas de raio \(2) e \(3) centradas na origem (isto é, todos os pontos com \(2\le \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\le 3)).
A função a integrar é \(z).
Queremos o valor de \displaystyle \iiint_{E} z\, dV.
Passo 2
Decidimos usar coordenadas esféricas (explico o porquê e as relações abaixo) para escrever a integral de forma simples. Antes de montar a integral, vou explicar o que são as coordenadas esféricas e como transformar x,y,z e o elemento de volume dV.
Definições e relações (coordenadas esféricas):
x = \rho \sin\varphi \cos\theta,\qquad y = \rho \sin\varphi \sin\theta,\qquad z = \rho \cos\varphi,
onde:
\rho\ge0 é a distância do ponto à origem (raio),
\varphi\in[0,\pi] é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z (ângulo colatitude),
\theta\in[0,2\pi) é o ângulo no plano xy (azimute).
Essas fórmulas vêm da decomposição geométrica: \rho projeta o ponto na esfera de raio \rho, \varphi mede a inclinação em relação ao eixo z, e \theta gira no plano xy.
Passo 3
Elemento de volume em coordenadas esféricas:
dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Breve justificativa intuitiva: pequenos volumes esféricos são aproximadamente um produto de comprimentos (d\rho), (\rho\, d\varphi) e (\rho\sin\varphi\, d\theta), multiplicando dá \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta. Esse fator \rho^{2}\sin\varphi é o “Jacobiano” da transformação.
Também transformamos o integrando:
z = \rho\cos\varphi.
Passo 4
Agora definimos os limites para \rho,\varphi,\theta correspondentes à região E. Como E é o casco entre as esferas de raio 2 e 3, temos:
\iiint_{E} z\, dV = \frac{65}{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\; d\varphi\; d\theta.
Passo 6
Agora foco na integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\; d\varphi.
Faço a substituição simples u=\sin\varphi. Então du=\cos\varphi\, d\varphi. Quando \varphi=0, u=\sin 0=0. Quando \varphi=\pi, u=\sin\pi=0. Assim
\int_{0}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\; d\varphi = \int_{u=0}^{u=0} u\; du.
Essa integral entre limites iguais vale 0. Alternativamente poderia notar que \sin\varphi é simétrica e \cos\varphi muda de sinal de forma que a integral sobre [0,\pi] cancela, resultando em 0.
Comentário intuitivo (jeito rápido que costuma funcionar na prova): a região E é simétrica em relação ao plano z=0 (para cada ponto com coordenada z existe o ponto espelhado com -z). A função integranda z é ímpar em relação a essa simetria (muda de sinal ao refletir z\mapsto -z). Logo a contribuição positiva acima do plano cancela exatamente a contribuição negativa abaixo do plano, dando integral zero. Esse argumento evita cálculos e é muito útil para economizar tempo na prova.