Um trem com uma velocidade constante de
se move na direção leste por 40 minutos, depois em uma direção que faz um ângulo de
a leste com a direção norte por 20 minutos e, finalmente, na direção oeste por mais 50 minutos. Quais são: (a) o módulo, (b) o ângulo da velocidade média do trem durante a viajem?
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a velocidade média vetorial do trem durante toda a viagem, isto é:
- (a) o módulo da velocidade média;
- (b) o ângulo da velocidade média (orientação).
Dados fornecidos:
- velocidade constante do trem:
; - trecho 1: direção leste, duração
; - trecho 2: direção que faz
a leste com a direção norte (ou seja, a leste do norte), duração ; - trecho 3: direção oeste, duração
.
Tempo total de viagem é a soma dos três tempos. A velocidade média vetorial será dada pelo deslocamento total dividido pelo tempo total:
Passo 2
Conceitos importantes (explicação didática):
- Deslocamento total
é a soma vetorial dos deslocamentos de cada trecho. Vetores somam-se componente a componente (componente x com x, y com y). - Para decompor um deslocamento em componentes usamos seno e cosseno: se um vetor de módulo
forma um ângulo com o eixo norte (positivo ) girando em direção ao leste, então (Aqui o seno dá a projeção no eixo leste-oeste e o cosseno dá a projeção no eixo norte-sul.) - A magnitude de um vetor com componentes
é - O ângulo medido a partir do leste, no sentido anti-horário (ou seja, “ao norte do leste”), é
tomando cuidado com o quadrante (aqui veremos que e , então já dá o ângulo correto entre 0° e 90°).
Passo 3
Converter tempos (transformar minutos em horas) e calcular os deslocamentos (distâncias percorridas em cada trecho), porque a velocidade está em
.
-
. -
. -
.
Agora as distâncias (módulos dos deslocamentos) em cada trecho:
Passo 4
Decompor cada deslocamento em componentes
(leste positivo) e
(norte positivo).
Trecho 1 (leste,
):
Trecho 2 (direção
a leste do norte,
):
Usamos a fórmula do Passo 2: ,
com
.
Usamos a fórmula do Passo 2:
Calculando numericamente (usando aproximações padrão de seno e cosseno):
Trecho 3 (oeste,
): oeste é negativo no eixo
,
Passo 5
Somar componente a componente para obter o deslocamento total
.
Componente
:
Componente
:
Portanto
Passo 6
Calcular a magnitude do deslocamento total:
Calculando:
Passo 7
Tempo total da viagem:
Velocidade média (módulo) é o módulo do deslocamento total dividido pelo tempo total:
Calculando numericamente:
Passo 8
Calcular o ângulo da velocidade média. Como
e
, o vetor resultante está no primeiro quadrante (norte do leste). O ângulo medido a partir do leste, no sentido anti-horário (isto é, “ao norte do leste”), é
Calculando:
Interpretação: a velocidade média aponta aproximadamente
ao norte do leste.
Resposta
(a)
(b) ao norte do leste
(b)