Um trem com uma velocidade constante de 60,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h} se move na direção leste por 40 minutos, depois em uma direção que faz um ângulo de 50^{\circ} a leste com a direção norte por 20 minutos e, finalmente, na direção oeste por mais 50 minutos. Quais são: (a) o módulo, (b) o ângulo da velocidade média do trem durante a viajem?

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a velocidade média vetorial do trem durante toda a viagem, isto é:
  • (a) o módulo da velocidade média;
  • (b) o ângulo da velocidade média (orientação).
Dados fornecidos:
  • velocidade constante do trem: 60{,}0\\ \mathrm{km/h};
  • trecho 1: direção leste, duração 40\\ \mathrm{min};
  • trecho 2: direção que faz 50^\circ a leste com a direção norte (ou seja, 50^\circ a leste do norte), duração 20\\ \mathrm{min};
  • trecho 3: direção oeste, duração 50\\ \mathrm{min}.
Tempo total de viagem é a soma dos três tempos. A velocidade média vetorial será dada pelo deslocamento total dividido pelo tempo total:
\vec{v}_{\text{média}}=\frac{\Delta\vec{r}_{\text{total}}}{\Delta t_{\text{total}}}.é

Passo 2

Conceitos importantes (explicação didática):
  • Deslocamento total \Delta\vec{r}_{\text{total}} é a soma vetorial dos deslocamentos de cada trecho. Vetores somam-se componente a componente (componente x com x, y com y).
  • Para decompor um deslocamento em componentes usamos seno e cosseno: se um vetor de módulo D forma um ângulo \theta com o eixo norte (positivo y) girando em direção ao leste, então D_x = D\sin\theta,\qquad D_y = D\cos\theta.(Aqui o seno dá a projeção no eixo leste-oeste e o cosseno dá a projeção no eixo norte-sul.)
  • A magnitude de um vetor com componentes (x,y) é |\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2}.
  • O ângulo medido a partir do leste, no sentido anti-horário (ou seja, “ao norte do leste”), é \theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),tomando cuidado com o quadrante (aqui veremos que x>0 e y>0, então \arctan(y/x) já dá o ângulo correto entre 0° e 90°).

Passo 3

Converter tempos (transformar minutos em horas) e calcular os deslocamentos (distâncias percorridas em cada trecho), porque a velocidade está em \mathrm{km/h}.
  • 40\\ \mathrm{min}=\dfrac{40}{60}\\ \mathrm{h}=\dfrac{2}{3}\\ \mathrm{h}.
  • 20\\ \mathrm{min}=\dfrac{20}{60}\\ \mathrm{h}=\dfrac{1}{3}\\ \mathrm{h}.
  • 50\\ \mathrm{min}=\dfrac{50}{60}\\ \mathrm{h}=\dfrac{5}{6}\\ \mathrm{h}.
Agora as distâncias (módulos dos deslocamentos) em cada trecho:
D_1 = v t_1 = 60\cdot \frac{2}{3}=40\\ \mathrm{km},
D_2 = v t_2 = 60\cdot \frac{1}{3}=20\\ \mathrm{km},
D_3 = v t_3 = 60\cdot \frac{5}{6}=50\\ \mathrm{km}.

Passo 4

Decompor cada deslocamento em componentes x (leste positivo) e y (norte positivo).
Trecho 1 (leste, D_1=40\\ \mathrm{km}):
\Delta \vec{r}_1 = (40,\,0)\\ \mathrm{km}.
Trecho 2 (direção 50^\circ a leste do norte, D_2=20\\ \mathrm{km}):
Usamos a fórmula do Passo 2: x = D\sin\theta, y = D\cos\theta com \theta=50^\circ.
\Delta r_{2x} = 20\sin 50^\circ,\qquad \Delta r_{2y} = 20\cos 50^\circ.
Calculando numericamente (usando aproximações padrão de seno e cosseno):
\sin 50^\circ\approx 0{,}7660444431,\quad \cos 50^\circ\approx 0{,}6427876097,
\Delta r_{2x}\approx 20\cdot 0{,}7660444431 \approx 15{,}3209\\ \mathrm{km},
\Delta r_{2y}\approx 20\cdot 0{,}6427876097 \approx 12{,}8558\\ \mathrm{km}.
Trecho 3 (oeste, D_3=50\\ \mathrm{km}): oeste é negativo no eixo x,
\Delta \vec{r}_3 = (-50,\,0)\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Somar componente a componente para obter o deslocamento total \Delta\vec{r}_{\text{total}}.
Componente x:
\Delta r_{x} = 40 + 15{,}320888862 - 50 = -10 + 15{,}320888862 \approx 5{,}320888862\\ \mathrm{km}.
Componente y:
\Delta r_{y} = 0 + 12{,}855752194 + 0 \approx 12{,}855752194\\ \mathrm{km}.
Portanto
\Delta\vec{r}_{\text{total}}\approx (5{,}3209,\;12{,}8558)\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Calcular a magnitude do deslocamento total:
|\Delta\vec{r}_{\text{total}}|=\sqrt{(\Delta r_x)^2+(\Delta r_y)^2} =\sqrt{(5{,}320888862)^2+(12{,}855752194)^2}.
Calculando:
(5{,}3209)^2\approx 28{,}317,\qquad (12{,}8558)^2\approx 165{,}287,
|\Delta\vec{r}_{\text{total}}|\approx \sqrt{193{,}604}\approx 13{,}91\\ \mathrm{km}.

Passo 7

Tempo total da viagem:
\Delta t_{\text{total}} = \frac{40+20+50}{60}\\ \mathrm{h}=\frac{110}{60}\\ \mathrm{h}=\frac{11}{6}\\ \mathrm{h}\approx 1{,}8333\\ \mathrm{h}.
Velocidade média (módulo) é o módulo do deslocamento total dividido pelo tempo total:
|\vec{v}_{\text{média}}|=\frac{|\Delta\vec{r}_{\text{total}}|}{\Delta t_{\text{total}}} =\frac{13{,}9126\\ \mathrm{km}}{11/6\\ \mathrm{h}}=13{,}9126\cdot\frac{6}{11}\\ \mathrm{km/h}.é
Calculando numericamente:
|\vec{v}_{\text{média}}|\approx 7{,}59\\ \mathrm{km/h}.é

Passo 8

Calcular o ângulo da velocidade média. Como \Delta r_x>0 e \Delta r_y>0, o vetor resultante está no primeiro quadrante (norte do leste). O ângulo medido a partir do leste, no sentido anti-horário (isto é, “ao norte do leste”), é
\theta=\arctan\!\left(\frac{\Delta r_y}{\Delta r_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{12{,}855752194}{5{,}320888862}\right).
Calculando:
\frac{12{,}8558}{5{,}3209}\approx 2{,}4159,\qquad \theta\approx \arctan(2{,}4159)\approx 67{,}6^\circ.
Interpretação: a velocidade média aponta aproximadamente 67{,}6^\circ ao norte do leste.

Resposta

(a) 7,59\\ \mathrm{km/h}
(b) 67{,}6^\circ ao norte do leste

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