Uma bola é lançada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de
sua velocidade é
, com i horizontal e j para cima. (a) Qual é a altura máxima atingida pela bola? (b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola? Quais são (c) o módulo e (d) o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade da bola no instante em que atinge o solo?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte situação e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
- Quando a bola está à altura
sua velocidade é . Aqui é a direção horizontal (constante) e é para cima. - A aceleração vertical é a gravidade, que vamos tomar como
para baixo.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
(b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola (ou seja, o alcance entre o lançamento e o impacto no solo)?
(c) Qual é o módulo da velocidade da bola no instante em que ela atinge o solo?
(d) Qual é o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade no instante do impacto?
(a) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
(b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola (ou seja, o alcance entre o lançamento e o impacto no solo)?
(c) Qual é o módulo da velocidade da bola no instante em que ela atinge o solo?
(d) Qual é o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade no instante do impacto?
Passo 2
Conceitos e fórmulas importantes (explicadinhos):
- Movimento horizontal: não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), então a componente horizontal da velocidade
é constante ao longo do voo. Aqui . - Movimento vertical: aceleração constante igual a
(escolhemos o sentido positivo para cima). Para velocidades e posições verticais usamos as equações do MUA (movimento uniformemente acelerado). Duas fórmulas úteis: - Relação entre velocidades e deslocamento vertical:
onde é a velocidade vertical em algum ponto, é a velocidade vertical em um ponto de referência, é e é o deslocamento vertical (positivo se sobe). - Tempo total de voo, se
é a componente vertical inicial (no lançamento do solo), o tempo total até voltar ao solo é porque o tempo de subida até o ápice é e a descida simétrica leva o mesmo tempo.
- Relação entre velocidades e deslocamento vertical:
Vou usar essas fórmulas com atenção às variáveis (tudo em m, s).
Passo 3
(a) Altura máxima atingida a partir do ponto em que sabemos
e altura
.
- No ápice a componente vertical da velocidade é zero:
. Usando a fórmula onde é a velocidade vertical no ponto dado e é quanto sobe a partir desse ponto. Resolvo para : - Substituindo números:
- Portanto a altura máxima é
Passo 4
Para as partes seguintes preciso da componente vertical inicial no lançamento (quando
). Vou determinar
usando a relação entre a velocidade vertical no ponto dado e a altura
acima do solo.
- Usando
isolo : - Substituindo:
- Assim
Passo 5
(b) Distância horizontal total (alcance). A componente horizontal é constante
. O tempo total de voo desde o lançamento até o impacto no solo é
Logo a distância horizontal (alcance) é
Passo 6
(c) Módulo da velocidade ao atingir o solo. No impacto a componente horizontal continua
. A componente vertical ao impactar é, por simetria, aproximadamente
(direção para baixo). Vou calcular explicitamente:
- Componente vertical final:
- Módulo da velocidade:
- Calculando:
Passo 7
(d) Ângulo abaixo da horizontal no momento do impacto. Defino
como o ângulo entre a velocidade e a horizontal, medido abaixo da horizontal. Então
portanto
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) abaixo da horizontal
(b)
(c)
(d)