Uma bola é lançada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de 9,1 \mathrm{~m} sua velocidade é \mathrm{v}=(7,6 \mathrm{i}+6,1 \mathrm{j}) \mathrm{m} / \mathrm{s}, com i horizontal e j para cima. (a) Qual é a altura máxima atingida pela bola? (b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola? Quais são (c) o módulo e (d) o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade da bola no instante em que atinge o solo?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
  • Quando a bola está à altura \,9,1\\ \mathrm{m}\, sua velocidade é \mathbf{v}=(7,6\,\mathbf{i}+6,1\,\mathbf{j})\\ \mathrm{m/s}. Aqui \mathbf{i} é a direção horizontal (constante) e \mathbf{j} é para cima.
  • A aceleração vertical é a gravidade, que vamos tomar como g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} para baixo.
Perguntas do enunciado:
(a) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
(b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola (ou seja, o alcance entre o lançamento e o impacto no solo)?
(c) Qual é o módulo da velocidade da bola no instante em que ela atinge o solo?
(d) Qual é o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade no instante do impacto?

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (explicadinhos):
  • Movimento horizontal: não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), então a componente horizontal da velocidade \,v_x\, é constante ao longo do voo. Aqui \,v_x=7,6\\ \mathrm{m/s}.
  • Movimento vertical: aceleração constante igual a -g (escolhemos o sentido positivo para cima). Para velocidades e posições verticais usamos as equações do MUA (movimento uniformemente acelerado). Duas fórmulas úteis:
    • Relação entre velocidades e deslocamento vertical: v_y^2 = v_{y,\,\text{inicial}}^2 - 2g\Delta y,onde v_y é a velocidade vertical em algum ponto, v_{y,\,\text{inicial}} é a velocidade vertical em um ponto de referência, g é 9,8 e \Delta y é o deslocamento vertical (positivo se sobe).
    • Tempo total de voo, se v_{y,0} é a componente vertical inicial (no lançamento do solo), o tempo total até voltar ao solo é T=\frac{2v_{y,0}}{g},porque o tempo de subida até o ápice é v_{y,0}/g e a descida simétrica leva o mesmo tempo.
Vou usar essas fórmulas com atenção às variáveis (tudo em m, s).

Passo 3

(a) Altura máxima atingida a partir do ponto em que sabemos v_y=6,1\\ \mathrm{m/s} e altura y=9,1\\ \mathrm{m}.
  • No ápice a componente vertical da velocidade é zero: v_{y,\text{ápice}}=0á. Usando a fórmula 0^2 = v_y^2 - 2g\Delta y,onde v_y=6,1\\ \mathrm{m/s} é a velocidade vertical no ponto dado e \Delta y = y_{\text{máx}}-9,1á é quanto sobe a partir desse ponto. Resolvo para \Delta y: \Delta y=\frac{v_y^2}{2g}.
  • Substituindo números: \Delta y=\frac{(6,1)^2}{2\cdot 9,8}=\frac{37,21}{19,6}=1,899\ldots\\ \mathrm{m}.
  • Portanto a altura máxima é y_{\text{máx}}=9,1+\Delta y=9,1+1,899\ldots=10,999\ldots\\ \mathrm{m}\approx 11,0\\ \mathrm{m}.á

Passo 4

Para as partes seguintes preciso da componente vertical inicial no lançamento (quando y=0). Vou determinar v_{y,0} usando a relação entre a velocidade vertical no ponto dado e a altura 9,1\\ \mathrm{m} acima do solo.
  • Usando v_y^2 = v_{y,0}^2 - 2g\cdot 9,1,isolo v_{y,0}^2: v_{y,0}^2 = v_y^2 + 2g\cdot 9,1.
  • Substituindo: v_{y,0}^2 = (6,1)^2 + 2\cdot 9,8\cdot 9,1 = 37,21 + 178,36 = 215,57.
  • Assim v_{y,0}=\sqrt{215,57}\approx 14,69\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

(b) Distância horizontal total (alcance). A componente horizontal é constante v_x=7,6\\ \mathrm{m/s}. O tempo total de voo desde o lançamento até o impacto no solo é
T=\frac{2v_{y,0}}{g}=\frac{2\cdot 14,69}{9,8}\approx 2,997\\ \mathrm{s}\approx 3,00\\ \mathrm{s}.
Logo a distância horizontal (alcance) é
R=v_x T = 7,6\cdot 2,997\approx 22,78\\ \mathrm{m}.

Passo 6

(c) Módulo da velocidade ao atingir o solo. No impacto a componente horizontal continua v_x=7,6\\ \mathrm{m/s}. A componente vertical ao impactar é, por simetria, aproximadamente -v_{y,0} (direção para baixo). Vou calcular explicitamente:
  • Componente vertical final: v_{y,\text{impacto}} = v_{y,0} - gT = v_{y,0} - g\cdot\frac{2v_{y,0}}{g} = -v_{y,0}\approx -14,69\\ \mathrm{m/s}.
  • Módulo da velocidade: v_{\text{impacto}}=\sqrt{v_x^2 + v_{y,\text{impacto}}^2} =\sqrt{(7,6)^2 + (-14,69)^2}.
  • Calculando: v_{\text{impacto}}=\sqrt{57,76 + 215,57}=\sqrt{273,33}\approx 16,53\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

(d) Ângulo abaixo da horizontal no momento do impacto. Defino \theta como o ângulo entre a velocidade e a horizontal, medido abaixo da horizontal. Então
\tan\theta=\frac{|v_{y,\text{impacto}}|}{v_x}=\frac{14,69}{7,6}\approx 1,931,
portanto
\theta=\arctan(1,931)\approx 62,6^\circ.

Resposta

(a) 11,0\\ \mathrm{m}
(b) 22,78\\ \mathrm{m}
(c) 16,53\\ \mathrm{m/s}
(d) 62,6^\circ abaixo da horizontal

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