Considere a EDO
.
(a) (1 ponto) Calcule um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada.
(b) ( 1,0 ponto) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da equação dada.
(c) ( 0,5 ponto) Dê a solução geral da EDO.
(a) (1 ponto) Calcule um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada.
(b) ( 1,0 ponto) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da equação dada.
(c) ( 0,5 ponto) Dê a solução geral da EDO.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
As perguntas são:
(a) Calcular um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada.
(b) Usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da equação dada.
(c) Dar a solução geral da EDO.
(a) Calcular um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada.
(b) Usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da equação dada.
(c) Dar a solução geral da EDO.
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
- É uma EDO linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é
.
Passo 2
Encontrar as soluções da equação homogênea associada significa resolver
Para equações lineares de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática: veja que ela é um quadrado perfeito,
logo há uma raiz dupla
de multiplicidade 2.
Quando a raiz
da equação característica tem multiplicidade 2, as duas soluções independentes da homogênea são
e
. Aqui
, portanto um conjunto fundamental de soluções da homogênea é
Breve justificativa intuitiva:
é solução imediata; para obter a segunda solução linearmente independente no caso de raiz dupla, multiplica-se por
(ou usa-se redução de ordem), resultando em
.
Passo 3
Agora vamos procurar uma solução particular
da equação completa
usando o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Ideia do método (explicação didática curta): se o termo à direita é de uma forma conhecida (exponencial, polinomial, sen/cos, ou produto desses), escolhe-se uma forma-teste com coeficientes indeterminados e ajusta-se esses coeficientes impondo que a forma teste satisfaça a EDO. Atenção importante (ressonância): se a forma-teste coincide com soluçõess da homogênea, é preciso multiplicar por
, onde
é a multiplicidade com que o expoente aparece como raiz da característica.
No nosso caso o termo forçante é
. O fator
corresponde a
, que é raiz da característica de multiplicidade
. Portanto, devemos multiplicar a forma-teste por
. Como o coeficiente multiplicador é uma constante (polinômio de grau 0), escolhemos a forma-teste
onde
é uma constante a determinar.
Passo 4
Calculemos
e
passo a passo. Defina
, então
.
Primeiro,
.
Usando a regra do produto e a derivada de
, temos
Agora derive novamente usando a mesma fórmula (para
):
e
Simplificando o conteúdo:
Portanto
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação
e simplificamos:
No somatório, os termos em
cancelam:
. Os termos em
também cancelam:
. Fica apenas:
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Portanto
Passo 6
Concluímos que uma solução particular é
Passo 7
A solução geral da EDO é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular. Como o conjunto fundamental da homogênea é
, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias (determinedo por condições iniciais, se houver). Opcionalmente pode-se fatorar
:
Força aí — é esse o tipo de conta que costuma aparecer em provas: raiz dupla na homogênea → elemento
; ressonância no particular → multiplicar por
. Vai dar certo!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)