Considere a EDO y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=3 e^{-t}.
(a) (1 ponto) Calcule um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada.
(b) ( 1,0 ponto) Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da equação dada.
(c) ( 0,5 ponto) Dê a solução geral da EDO.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y''+2y'+y=3e^{-t}.
As perguntas são:
(a) Calcular um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada.
(b) Usar o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular da equação dada.
(c) Dar a solução geral da EDO.
Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
  • É uma EDO linear de ordem 2 com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é 3e^{-t}.

Passo 2

Encontrar as soluções da equação homogênea associada significa resolver
y''+2y'+y=0.
Para equações lineares de coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica:
r^2+2r+1=0.
Resolvendo essa equação quadrática: veja que ela é um quadrado perfeito,
r^2+2r+1=(r+1)^2,
logo há uma raiz dupla r=-1 de multiplicidade 2.
Quando a raiz r da equação característica tem multiplicidade 2, as duas soluções independentes da homogênea são e^{rt} e t e^{rt}. Aqui r=-1, portanto um conjunto fundamental de soluções da homogênea é
\{e^{-t},\; t e^{-t}\}.
Breve justificativa intuitiva: e^{-t} é solução imediata; para obter a segunda solução linearmente independente no caso de raiz dupla, multiplica-se por t (ou usa-se redução de ordem), resultando em t e^{-t}.

Passo 3

Agora vamos procurar uma solução particular y_p da equação completa
y''+2y'+y=3e^{-t}
usando o método dos coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados). Ideia do método (explicação didática curta): se o termo à direita é de uma forma conhecida (exponencial, polinomial, sen/cos, ou produto desses), escolhe-se uma forma-teste com coeficientes indeterminados e ajusta-se esses coeficientes impondo que a forma teste satisfaça a EDO. Atenção importante (ressonância): se a forma-teste coincide com soluçõess da homogênea, é preciso multiplicar por t^m, onde m é a multiplicidade com que o expoente aparece como raiz da característica.
No nosso caso o termo forçante é 3e^{-t}. O fator e^{-t} corresponde a r=-1, que é raiz da característica de multiplicidade m=2. Portanto, devemos multiplicar a forma-teste por t^{2}. Como o coeficiente multiplicador é uma constante (polinômio de grau 0), escolhemos a forma-teste
y_p = A t^{2} e^{-t},
onde A é uma constante a determinar.

Passo 4

Calculemos y_p' e y_p'' passo a passo. Defina u(t)=t^{2}, então y_p = A u e^{-t}.
Primeiro, u'(t)=2t.
Usando a regra do produto e a derivada de e^{-t}, temos
y_p' = A\big(u' e^{-t} + u(-e^{-t})\big) = A e^{-t}(u' - u) = A e^{-t}(2t - t^{2}).
Agora derive novamente usando a mesma fórmula (para v(t)=2t-t^{2}):
v'(t)=2-2t,
e
y_p'' = A\big( e^{-t}(v' - v)\big) = A e^{-t}\big((2-2t) - (2t - t^{2})\big).
Simplificando o conteúdo:
(2-2t) - (2t - t^{2}) = 2 - 2t - 2t + t^{2} = 2 - 4t + t^{2}.
Portanto
y_p'' = A e^{-t}(2 - 4t + t^{2}).

Passo 5

Substituímos y_p, y_p' e y_p'' na equação y''+2y'+y e simplificamos:
\begin{aligned} y_p'' + 2y_p' + y_p &= A e^{-t}\big(2 - 4t + t^{2}\big) + 2A e^{-t}\big(2t - t^{2}\big) + A e^{-t}\big(t^{2}\big)\\[4pt] &= A e^{-t}\Big(2 - 4t + t^{2} + 4t - 2t^{2} + t^{2}\Big). \end{aligned}
No somatório, os termos em t cancelam: -4t + 4t = 0. Os termos em t^{2} também cancelam: t^{2} - 2t^{2} + t^{2} = 0. Fica apenas:
y_p'' + 2y_p' + y_p = A e^{-t}\cdot 2 = 2A e^{-t}.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito 3e^{-t}. Portanto
2A e^{-t} = 3 e^{-t} \quad\Rightarrow\quad 2A=3 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{3}{2}.]

Passo 6

Concluímos que uma solução particular é
y_p = \tfrac{3}{2}\, t^{2} e^{-t}.

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular. Como o conjunto fundamental da homogênea é \{e^{-t},\;t e^{-t}\}, a solução geral é
y(t)=C_{1} e^{-t} + C_{2} t e^{-t} + \tfrac{3}{2} t^{2} e^{-t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias (determinedo por condições iniciais, se houver). Opcionalmente pode-se fatorar e^{-t}:
y(t)=e^{-t}\Big(C_{1}+C_{2}t+\tfrac{3}{2}t^{2}\Big).
Força aí — é esse o tipo de conta que costuma aparecer em provas: raiz dupla na homogênea → elemento t e^{rt}; ressonância no particular → multiplicar por t^{m}. Vai dar certo!

Resposta

(a) \{e^{-t},\;t e^{-t}\}
(b) y_p=\tfrac{3}{2}\,t^{2}e^{-t}
(c) y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}t e^{-t}+\tfrac{3}{2}t^{2}e^{-t}

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