(4) [1 Uma linha de escoamento (ou linha de corrente) de um campo vetorial F é uma curva r(t) tal que d rd t=F(r(t) ). Se F representa o campo de velocidade de uma partícula, então essas linhas são as trajetórias seguidas pela partícula. Portanto, os vetores do campo vetorial são tangentes às suas linhas de escoamento. Nos exercícios abaixo, mostre que a curva dada é uma linha de escoamento do campo vetorial dado.
r(t)=lang<= e^2 t, ln t, 1trang<=, t>0, e F(x, y, z)=lang<= 2 x, z,-z^2rang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a curva r(t) = lang<= e^2t, ln t, 1t rang<=, para t > 0, é uma linha de escoamento do campo vetorial F(x, y, z) = lang<= 2x, z, -z^2 rang<=. Basicamente, isso quer dizer que a derivada da curva em relação ao tempo deve ser igual ao campo vetorial avaliado na curva. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e avaliação de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da curva r(t) em relação a t. Isso significa derivar cada componente da curva individualmente.
drdt = lang<= ddt(e^2t), ddt(ln t), ddt(1t) rang<=
Calculando cada derivada:
  • ddt(e^2t) = 2e^2t
  • ddt(ln t) = 1t
  • ddt(1t) = -1t^2
Então,
drdt = lang<= 2e^2t, 1t, -1t^2 rang<=

Passo 3

Agora, vamos avaliar o campo vetorial F na curva r(t). Isso significa substituir x, y e z pelos componentes correspondentes de r(t).
F(r(t)) = F(e^2t, ln t, 1t) = lang<= 2e^2t, 1t, -(1t)^2 rang<=
Simplificando:
F(r(t)) = lang<= 2e^2t, 1t, -1t^2 rang<=

Passo 4

Agora, vamos comparar a derivada da curva com o campo vetorial avaliado na curva:
drdt = lang<= 2e^2t, 1t, -1t^2 rang<=
F(r(t)) = lang<= 2e^2t, 1t, -1t^2 rang<=
Vemos que drdt = F(r(t)), ou seja, a derivada da curva é igual ao campo vetorial na curva.

Resposta

Sim, a curva r(t) = lang<= e^2t, ln t, 1t rang<= é uma linha de escoamento do campo vetorial F(x, y, z) = lang<= 2x, z, -z^2 rang<=, pois drdt = F(r(t)).

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