Determine as derivadas das funções abaixo com relação as suas respectivas variáveis.
(g) f(x, y)=integralx^y ln sen t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função f(x,y)=integralx^yln(sin t),dt. O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de Leibniz para integrais com limites variáveis.

Passo 2

Para obter partial fpartial y, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: ao derivar em relação ao limite superior y, temos
partialpartial yintegralx^yln(sin t),dt=ln(sin y)
Logo, partial fpartial y=ln(sin y).

Passo 3

Para obter partial fpartial x, usamos a regra de derivar em relação ao limite inferior variável: ao derivar em relação a x, surge um sinal negativo,
partialpartial xintegralx^yln(sin t),dt=-ln(sin x)
Logo, partial fpartial x=-ln(sin x).

Resposta

partial fpartial x=-ln(sin x) e partial fpartial y=ln(sin y).

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