(4) [1 Uma linha de escoamento (ou linha de corrente) de um campo vetorial F é uma curva r(t) tal que d rd t=F(r(t) ). Se F representa o campo de velocidade de uma partícula, então essas linhas são as trajetórias seguidas pela partícula. Portanto, os vetores do campo vetorial são tangentes às suas linhas de escoamento. Nos exercícios abaixo, mostre que a curva dada é uma linha de escoamento do campo vetorial dado.
r(t)=lang<=sin t, cos t, e^trang<=, t in R, e F(x, y, z)=lang<= y,-x, zrang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão trata de linhas de escoamento em campos vetoriais. O que a gente precisa fazer é verificar se a curva dada, r(t) = lang<= sin t, cos t, e^t rang<=, realmente segue a direção do campo vetorial F(x, y, z) = lang<= y, -x, z rang<=. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da curva e comparar com o campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da curva r(t) em relação a t. Isso significa encontrar d rd t.
d rd t = lang<= ddt(sin t), ddt(cos t), ddt(e^t) rang<= = lang<= cos t, -sin t, e^t rang<=

Passo 3

Agora, vamos substituir as componentes de r(t) no campo vetorial F(x, y, z) para encontrar F(r(t)).
F(r(t)) = F(sin t, cos t, e^t) = lang<= cos t, -sin t, e^t rang<=

Passo 4

Agora, vamos comparar a derivada da curva com o campo vetorial avaliado na curva:
d rd t = lang<= cos t, -sin t, e^t rang<= F(r(t)) = lang<= cos t, -sin t, e^t rang<=
Vemos que d rd t = F(r(t)).

Resposta

Como a derivada da curva r(t) é igual ao campo vetorial F(r(t)), concluímos que a curva dada é, de fato, uma linha de escoamento do campo vetorial F.

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