Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(a) A função
é diferenciável em todos os pontos.
(a) A função
Passo 1
Então, temos uma afirmação para classificar como verdadeira ou falsa: “A função $ f(x, y) = x^{2} + 3y $ é diferenciável em todos os pontos.” Vamos trabalhar com o conteúdo de diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se a função dada atende a esses critérios em todos os pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. Isso basicamente quer dizer que a função pode ser bem aproximada por um plano tangente próximo a esse ponto.
Passo 3
Vamos analisar a função $ f(x, y) = x^{2} + 3y $. Essa é uma função polinomial, porque envolve potências de $ x $ e $ y $ sem termos de divisão ou funções compostas mais complicadas.
Passo 4
Em funções polinomiais, as derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos do domínio. Vamos calcular as derivadas parciais para confirmar:
Passo 5
Ambas as derivadas parciais $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} = 3 $ são funções contínuas para todo valor de $ x $ e $ y $. Não há nenhum ponto onde essas derivadas não existam ou sejam descontínuas.
Passo 6
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos, podemos concluir que a função $ f(x, y) = x^{2} + 3y $ é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.
Resposta
Verdadeiro.