Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas:
(a) A função f(x, y)=x^2+3 y é diferenciável em todos os pontos.

Passo 1

Então, temos uma afirmação para classificar como verdadeira ou falsa: “A função $ f(x, y) = x^{2} + 3y $ é diferenciável em todos os pontos.” Vamos trabalhar com o conteúdo de diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar se a função dada atende a esses critérios em todos os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais contínuas nesse ponto. Isso basicamente quer dizer que a função pode ser bem aproximada por um plano tangente próximo a esse ponto.

Passo 3

Vamos analisar a função $ f(x, y) = x^{2} + 3y $. Essa é uma função polinomial, porque envolve potências de $ x $ e $ y $ sem termos de divisão ou funções compostas mais complicadas.

Passo 4

Em funções polinomiais, as derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos do domínio. Vamos calcular as derivadas parciais para confirmar:
partial fpartial x = 2x
partial fpartial y = 3

Passo 5

Ambas as derivadas parciais $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} = 3 $ são funções contínuas para todo valor de $ x $ e $ y $. Não há nenhum ponto onde essas derivadas não existam ou sejam descontínuas.

Passo 6

Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos, podemos concluir que a função $ f(x, y) = x^{2} + 3y $ é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Resposta

Verdadeiro.

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