[1,5 pts] Calcule \iint_{S} \vec{F} d \vec{S} onde \vec{F} \cdot(x, y, z)=\left(2 x+\cos 2 y, \sin (2 x)+2 y, \mathrm{e}^{2 x+2 y}\right) e S a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1}{9}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo da campo vetorial através da esfera S. Dados fornecidos:
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(2x+\cos(2y),\;\sin(2x)+2y,\;e^{2x+2y}\bigr)
e S é a esfera fechada de equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1}{9}.
A quantidade pedida é o integral de superfície do fluxo:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}.

Passo 2

Escolhemos um método prático: transformar o problema do fluxo por uma superfície fechada num integral sobre o volume interior. A esfera dada é uma superfície fechada e suave, então podemos usar o teorema de Gauss (divergência) para trocar o integral de superfície por um integral triplo sobre o volume V interior à esfera. O teorema de Gauss diz exatamente como fazer isso (veja passo seguinte).

Passo 3

Enunciado do teorema de Gauss (fórmula que vamos usar) e significado das notações:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\;dV.
Aqui \operatorname{div}\vec{F} é a divergência do campo \vec{F} e V é o volume limitado pela superfície S. A divergência é definida como a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas variáveis:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z},
onde F_1,F_2,F_3 são, respectivamente, as componentes x,y,z de \vec{F}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais das componentes de \vec{F}. Escrevemos as componentes explicitamente:
F_1(x,y,z)=2x+\cos(2y),
F_2(x,y,z)=\sin(2x)+2y,
F_3(x,y,z)=e^{2x+2y}.
Agora as derivadas parciais:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x+\cos(2y)\bigr)=2,
porque \cos(2y) é constante em relação a x.
\frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin(2x)+2y\bigr)=2,
porque \sin(2x) é constante em relação a y e \frac{d}{dy}(2y)=2.
\frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{2x+2y}\bigr)=0,
pois e^{2x+2y} não depende de z.

Passo 5

Somando as derivadas parciais obtemos a divergência:
\operatorname{div}\vec{F}=2+2+0=4.
Observe que a divergência é constante em todo o espaço, o que simplifica muito o integral triplo.

Passo 6

Aplicando o teorema de Gauss:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V}\operatorname{div}\vec{F}\;dV=\iiint_{V}4\;dV=4\cdot\operatorname{Vol}(V).
Agora calculamos o volume \operatorname{Vol}(V) da esfera de raio r. Da equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1}{9} deduzimos que o raio é
r=\frac{1}{3}.
A fórmula do volume de uma esfera de raio r é
\operatorname{Vol}(V)=\frac{4}{3}\pi r^{3}.

Passo 7

Calcule r^{3} e o volume:
r^{3}=\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{3}=\tfrac{1}{27},
\operatorname{Vol}(V)=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{1}{27}=\frac{4}{81}\pi.
Multiplicando pela divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=4\cdot \frac{4}{81}\pi=\frac{16}{81}\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{81}\pi

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