[1,5 pts] Calcule
onde
e
a esfera
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo da campo vetorial através da esfera
. Dados fornecidos:
e
é a esfera fechada de equação
A quantidade pedida é o integral de superfície do fluxo:
Passo 2
Escolhemos um método prático: transformar o problema do fluxo por uma superfície fechada num integral sobre o volume interior. A esfera dada é uma superfície fechada e suave, então podemos usar o teorema de Gauss (divergência) para trocar o integral de superfície por um integral triplo sobre o volume
interior à esfera. O teorema de Gauss diz exatamente como fazer isso (veja passo seguinte).
Passo 3
Enunciado do teorema de Gauss (fórmula que vamos usar) e significado das notações:
Aqui
é a divergência do campo
e
é o volume limitado pela superfície
. A divergência é definida como a soma das derivadas parciais das componentes do campo em relação às suas variáveis:
onde
são, respectivamente, as componentes
de
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais das componentes de
. Escrevemos as componentes explicitamente:
Agora as derivadas parciais:
porque
é constante em relação a
.
porque
é constante em relação a
e
.
pois
não depende de
.
Passo 5
Somando as derivadas parciais obtemos a divergência:
Observe que a divergência é constante em todo o espaço, o que simplifica muito o integral triplo.
Passo 6
Aplicando o teorema de Gauss:
Agora calculamos o volume
da esfera de raio
. Da equação
deduzimos que o raio é
A fórmula do volume de uma esfera de raio
é
Passo 7
Calcule
e o volume:
Multiplicando pela divergência: