[1,0 ponto] Calcular lim (x, y) (-3,0) (x+3) y(x+3)^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (-3,0) (x+3) y(x+3)^2+y^2. Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (-3, 0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir u = x + 3. Assim, quando (x, y) (-3, 0), temos que u 0 e y 0. A expressão do limite fica:
(u) yu^2 + y^2

Passo 3

Agora, para entender o comportamento dessa função perto de (u, y) = (0, 0), vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, u = r cos theta e y = r sin theta, onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo. Substituindo na expressão, temos:
(r cos theta)(r sin theta)(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^2 sin theta cos thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então simplificando:
r^2 sin theta cos thetar^2 = sin theta cos theta

Passo 4

Perceba que, ao simplificar, o r^2 cancela e ficamos apenas com sin theta cos theta. Isso significa que o valor do limite depende do ângulo theta com o qual (u, y) se aproxima de (0, 0). Se o resultado do limite depende de theta, então o limite não é o mesmo para todos os caminhos de aproximação.
Por exemplo:
  • Se theta = 0, então sin theta cos theta = 0.
  • Se theta = pi4, então sin theta cos theta = 12.
Como obtemos valores diferentes dependendo de theta, isso indica que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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