[1,0 ponto] Calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir
. Assim, quando
, temos que
e
. A expressão do limite fica:
Passo 3
Agora, para entender o comportamento dessa função perto de
, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo. Substituindo na expressão, temos:
Sabemos que
, então simplificando:
Passo 4
Perceba que, ao simplificar, o
cancela e ficamos apenas com
. Isso significa que o valor do limite depende do ângulo
com o qual
se aproxima de
. Se o resultado do limite depende de
, então o limite não é o mesmo para todos os caminhos de aproximação.
Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então .
Como obtemos valores diferentes dependendo de
, isso indica que o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.