Calcule as seguintes integrais definidas
integral-pi / 2^pi / 2 sen(2 theta) d theta

Passo 1

A gente quer calcular a integral definida integral-pi2^pi2 sin(2theta),dtheta. O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas, que envolve achar a antiderivada (primitiva) de sin(2theta) e depois avaliar nos limites. Também dá pra usar a ideia de função ímpar, já que sin(2theta) é ímpar em relação a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primitiva de sin(2theta). Em geral vale integral sin(kx),dx = -tfrac1kcos(kx) + C. Aplicando para k=2:
integral sin(2theta),dtheta = -12cos(2theta) + C

Passo 3

Agora usamos a definição de integral definida, ou seja, avaliamos a primitiva nos limites -tfracpi2 e tfracpi2:
[-12cos(2theta)]-pi2^pi2 = -12cosl(2cdot tfracpi2r) - l(-12cosl(2cdot (-tfracpi2)r)r)

Passo 4

Sabendo que cos(pi)=cos(-pi)=-1, isso fica
= -12(-1) - l(-tfrac12(-1)r) = 12 - 12 = 0

Passo 5

Como de cara também dá pra ver que sin(2theta) é ímpar e os limites são simétricos, a integral sempre vai dar zero.

Resposta

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