[1,0 ponto] Usando a Regra da Cadeia, calcular as derivadas parciais das funções w=x^2+yz ; x=u v^2 ; y=u+v ; z=cos u

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função composta $ w = x^{2} + \frac{y}{z} $, onde $ x $, $ y $ e $ z $ também são funções de $ u $ e $ v $:
  • $ x = u v^{2} $
  • $ y = u + v $
  • $ z = \cos u $
Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ u $ e $ v $ usando a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos entender como as variáveis estão interligadas e aplicar a regra corretamente.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial de $ w $ em relação a $ u $, ou seja, $ \frac{\partial w}{\partial u} $.
A Regra da Cadeia para derivadas parciais em funções compostas nos diz que:
w
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, e as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ u $.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. $ \frac{\partial w}{\partial x} $:
partial wpartial x
  1. $ \frac{\partial w}{\partial y} $:
w = x^2 + yz implies partial wpartial x = 2x
  1. $ \frac{\partial w}{\partial z} $:
partial wpartial y
Agora, as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ u $:
  1. $ \frac{\partial x}{\partial u} $:
partial wpartial y = 1z
  1. $ \frac{\partial y}{\partial u} $:
partial wpartial z
  1. $ \frac{\partial z}{\partial u} $:
partial wpartial z = -yz^2

Passo 4

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão original da Regra da Cadeia:
partial wpartial u = (2x) cdot (v^2) + (1z) cdot (1) + (-yz^2) cdot (-sin u)
Simplificando:
partial wpartial u = 2x v^2 + 1z + y sin uz^2

Passo 5

Substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ pelas suas expressões em termos de $ u $ e $ v $:
x
Então:
y
Simplificando mais:
z

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ w $ em relação a $ v $, ou seja, $ \frac{\partial w}{\partial v} $.
Usando a mesma Regra da Cadeia:
w

Passo 7

Calculamos as derivadas necessárias:
Já temos:
partial wpartial x = 2x, partial wpartial y = 1z, partial wpartial z = -yz^2
Agora, as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ v $:
  1. $ \frac{\partial x}{\partial v} $:
x
  1. $ \frac{\partial y}{\partial v} $:
y
  1. $ \frac{\partial z}{\partial v} $:
z

Passo 8

Substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
partial wpartial v = (2x) cdot (2u v) + (1z) cdot (1) + (-yz^2) cdot (0)
Simplificando:
partial wpartial v = 4u v x + 1z

Passo 9

Novamente, substituímos $ x $ e $ z $ pelas suas expressões em termos de $ u $ e $ v $:
x
Então:
z
Simplificando:
u

Resposta

As derivadas parciais de $ w $ são:
w
e
partial wpartial u = 2u v^4 + sec u + (u + v) tan u sec u

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