[1,0 ponto] Usando a Regra da Cadeia, calcular as derivadas parciais das funções
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função composta $ w = x^{2} + \frac{y}{z} $, onde $ x $, $ y $ e $ z $ também são funções de $ u $ e $ v $:
- $ x = u v^{2} $
- $ y = u + v $
- $ z = \cos u $
Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ u $ e $ v $ usando a Regra da Cadeia. Para isso, precisamos entender como as variáveis estão interligadas e aplicar a regra corretamente.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ w $ em relação a $ u $, ou seja, $ \frac{\partial w}{\partial u} $.
A Regra da Cadeia para derivadas parciais em funções compostas nos diz que:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas parciais de $ w $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $, e as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ u $.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
- $ \frac{\partial w}{\partial x} $:
- $ \frac{\partial w}{\partial y} $:
- $ \frac{\partial w}{\partial z} $:
Agora, as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ u $:
- $ \frac{\partial x}{\partial u} $:
- $ \frac{\partial y}{\partial u} $:
- $ \frac{\partial z}{\partial u} $:
Passo 4
Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão original da Regra da Cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Substituímos $ x $, $ y $ e $ z $ pelas suas expressões em termos de $ u $ e $ v $:
Então:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ w $ em relação a $ v $, ou seja, $ \frac{\partial w}{\partial v} $.
Usando a mesma Regra da Cadeia:
Passo 7
Calculamos as derivadas necessárias:
Já temos:
Agora, as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ v $:
- $ \frac{\partial x}{\partial v} $:
- $ \frac{\partial y}{\partial v} $:
- $ \frac{\partial z}{\partial v} $:
Passo 8
Substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando:
Passo 9
Novamente, substituímos $ x $ e $ z $ pelas suas expressões em termos de $ u $ e $ v $:
Então:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de $ w $ são:
e