3 (Rolamento, torque e quantidade de movimento angular - 2,5 pontos) Um disco sólido de peso igual a P=30,0 \mathrm{~N} sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a \theta=50^{\circ}. Na base do plano, o centro de massa do disco tem uma velocidade linear de v_{0}=3,5 m / s. Use I_{C M} daeo =\frac{1}{2} M R^{2}.
a) Qual é a energia cinética do disco na base do plano inclinado?
b) Qual è a distância que o disco percorre ao subir o plano?

Passo 1

O enunciado dá um disco sólido que sobe rolando um plano inclinado. Perguntas e dados importantes (listados claramente):
  • Perguntas:
    1. Qual é a energia cinética do disco na base do plano inclinado?
    2. Qual é a distância que o disco percorre ao subir até parar?
  • Dados fornecidos:
    • Peso do disco: P=30,0\\ \mathrm{N}.
    • Ângulo do plano: \theta=50^\circ.
    • Velocidade do centro de massa na base: v_{0}=3,5\\ \mathrm{m/s}.
    • Momento de inércia em torno do centro de massa para disco sólido: I_{CM}=\dfrac{1}{2} M R^{2}.
  • Observação implícita (necessária para resolver): o disco está rolando sem deslizar (rolamento puro) enquanto sobe o plano.

Passo 2

Primeiro, relacionar peso e massa para ter M se necessário. A definição do peso é \;P = M g\;, onde:
  • \;P\; é o peso (força, em newtons),
  • \;M\; é a massa (em kg),
  • \;g\; é a aceleração da gravidade.
    Vamos usar \;g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Calculemos M:
M=\dfrac{P}{g}=\dfrac{30{,}0}{9{,}80}=3{,}06122449\\ \mathrm{kg}\approx 3{,}06\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Entender as formas de energia cinética para um corpo que rola sem deslizar:
  • Energia cinética translacional do centro de massa:
K_{\text{trans}}=\dfrac{1}{2}M v_{0}^{2}.
  • Energia cinética rotacional em torno do centro de massa:
K_{\text{rot}}=\dfrac{1}{2}I_{CM}\,\omega^{2},
onde \omega é a velocidade angular do disco. Em rolamento sem deslizamento vale a relação
\omega=\dfrac{v_{0}}{R},
pois o ponto de contato tem velocidade zero instantânea.
Substituindo I_{CM}=\dfrac{1}{2} M R^{2} e \omega=\dfrac{v_{0}}{R} em K_{\text{rot}}:
K_{\text{rot}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2} M R^{2}\right)\left(\dfrac{v_{0}^{2}}{R^{2}}\right) =\dfrac{1}{4} M v_{0}^{2}.

Passo 4

Somando as energias translacional e rotacional para obter a energia cinética total do disco na base:
K_{\text{total}}=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}} =\dfrac{1}{2}M v_{0}^{2}+\dfrac{1}{4}M v_{0}^{2} =\dfrac{3}{4}M v_{0}^{2}.
Agora calculamos numericamente. Primeiro calcule M v_{0}^{2}:
v_{0}^{2}=(3{,}5)^{2}=12{,}25,
M v_{0}^{2}=\dfrac{P}{g}\,v_{0}^{2}=\dfrac{30{,}0}{9{,}80}\cdot 12{,}25=\dfrac{30{,}0\cdot 12{,}25}{9{,}80}=\dfrac{367{,}5}{9{,}80}=37{,}5.
Portanto
K_{\text{total}}=\dfrac{3}{4}\cdot 37{,}5=28{,}125\\ \mathrm{J}.
Arredondando com uma precisão razoável dos dados:
K_{\text{total}}\approx 28{,}1\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Agora vamos determinar a distância s que o disco sobe até parar. A ideia física: a energia cinética inicial transforma-se em energia potencial gravitacional quando o disco sobe sem perdas por atrito (assumimos rolamento sem dissipação). A variação de energia potencial é
\Delta U = M g h,
onde h é a elevação vertical atingida. Se o disco sobe uma distância s ao longo do plano inclinado, a altura é
h = s \sin\theta.
Energia mecânica conservada implica:
K_{\text{total}} = M g h.

Passo 6

Substituímos h=s\sin\theta e M g = P (já que P é o peso dado) na equação de conservação:
K_{\text{total}} = M g (s\sin\theta) = P\,s\sin\theta.
Isolando s:
s=\dfrac{K_{\text{total}}}{P\sin\theta}.

Passo 7

Colocamos os números: usamos o valor calculado para K_{\text{total}}=28{,}125\\ \mathrm{J}, P=30{,}0\\ \mathrm{N} e \theta=50^\circ. Primeiro calcule \sin 50^\circ:
\sin 50^\circ \approx 0{,}76604.
Agora
s=\dfrac{28{,}125}{30{,}0\cdot 0{,}76604}=\dfrac{28{,}125}{22{,}9812}\approx 1{,}2236\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma coerente com os dados:
s\approx 1{,}22\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Resumo rápido e checagem mental: a expressão simples \;K_{\text{total}}=\tfrac{3}{4}Mv_{0}^{2}\; é muito útil para discos sólidos; usamos \;M g=P\; para simplificar a fórmula da distância. Os números conferem: energia inicial relativamente pequena (cerca de 28\\ \mathrm{J}) e plano íngreme ( 50^\circ), então a subida é da ordem de 1 metro — faz sentido físico.

Resposta

a) 28{,}1\\ \mathrm{J}
b) 1{,}22\\ \mathrm{m}

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