3 (Rolamento, torque e quantidade de movimento angular - 2,5 pontos) Um disco sólido de peso igual a
sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a
. Na base do plano, o centro de massa do disco tem uma velocidade linear de
. Use
daeo
.
a) Qual é a energia cinética do disco na base do plano inclinado?
b) Qual è a distância que o disco percorre ao subir o plano?
a) Qual é a energia cinética do disco na base do plano inclinado?
b) Qual è a distância que o disco percorre ao subir o plano?
Passo 1
O enunciado dá um disco sólido que sobe rolando um plano inclinado. Perguntas e dados importantes (listados claramente):
- Perguntas:
- Qual é a energia cinética do disco na base do plano inclinado?
- Qual é a distância que o disco percorre ao subir até parar?
- Dados fornecidos:
- Peso do disco:
. - Ângulo do plano:
. - Velocidade do centro de massa na base:
. - Momento de inércia em torno do centro de massa para disco sólido:
.
- Peso do disco:
- Observação implícita (necessária para resolver): o disco está rolando sem deslizar (rolamento puro) enquanto sobe o plano.
Passo 2
Primeiro, relacionar peso e massa para ter
se necessário. A definição do peso é
, onde:
-
é o peso (força, em newtons), -
é a massa (em kg), -
é a aceleração da gravidade.
Vamos usar.
Calculemos
:
Passo 3
Entender as formas de energia cinética para um corpo que rola sem deslizar:
- Energia cinética translacional do centro de massa:
- Energia cinética rotacional em torno do centro de massa:
onde
é a velocidade angular do disco. Em rolamento sem deslizamento vale a relação
pois o ponto de contato tem velocidade zero instantânea.
Substituindo
e
em
:
Passo 4
Somando as energias translacional e rotacional para obter a energia cinética total do disco na base:
Agora calculamos numericamente. Primeiro calcule
:
Portanto
Arredondando com uma precisão razoável dos dados:
Passo 5
Agora vamos determinar a distância
que o disco sobe até parar. A ideia física: a energia cinética inicial transforma-se em energia potencial gravitacional quando o disco sobe sem perdas por atrito (assumimos rolamento sem dissipação). A variação de energia potencial é
onde
é a elevação vertical atingida. Se o disco sobe uma distância
ao longo do plano inclinado, a altura é
Energia mecânica conservada implica:
Passo 6
Substituímos
e
(já que
é o peso dado) na equação de conservação:
Isolando
:
Passo 7
Colocamos os números: usamos o valor calculado para
,
e
. Primeiro calcule
:
Agora
Arredondando de forma coerente com os dados:
Passo 8
Resumo rápido e checagem mental: a expressão simples
é muito útil para discos sólidos; usamos
para simplificar a fórmula da distância. Os números conferem: energia inicial relativamente pequena (cerca de
) e plano íngreme (
), então a subida é da ordem de
metro — faz sentido físico.
Resposta
a)
b)
b)