[1,0 ponto] Determine a área da região do parabolóide
que está no interior da esfera
.
Passo 1
O problema pede a área da parte do parabolóide z = x^2 + y^2 que fica dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2. O conteúdo é cálculo de área de superfície de uma função z = f(x,y), usando a fórmula ∬_D √(1 + f_x^2 + f_y^2) dA, e precisamos determinar f_x, f_y e a região D no plano xy.
Passo 2
Para aplicar a fórmula de área de superfície, calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=x2+y2: f_x = 2x e f_y = 2y. Então o fator de correção é √(1 + f_x^2 + f_y^2) = √(1 + 4x^2 + 4y^2). Em coordenadas polares (x = r cosθ, y = r sinθ) isso fica √(1 + 4r^2).
Passo 3
Precisamos achar a projeção D no plano xy do trecho do parabolóide que está dentro da esfera. Substituindo z = r^2 na equação da esfera r^2 + z^2 = 2 temos r^2 + (r2)2 ≤ 2 ⇒ r^4 + r^2 - 2 ≤ 0. As raízes em ρ = r^2 são ρ = 1 e ρ = -2, logo 0 ≤ r^2 ≤ 1 e portanto 0 ≤ r ≤ 1.
Passo 4
Montamos o integral de área em coordenadas polares:
Passo 5
Para avaliar ∫_{0}^{1} r√(1+4r^2) dr fazemos a substituição u = 1 + 4r^2 ⇒ du = 8r dr. O integral fica
Multiplicando por ∫_{0}^{2π} dθ = 2π, obtemos A = 2π · \frac{1}{12}(5^{3/2}-1) = \frac{π}{6}(5√5 - 1).