[1,5 ponto] Determine a \in \mathbb{R} de modo que a parábola y=a x^{2} tenha curvatura 4 na origem.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a\in\mathbb{R} tal que a parábola dada por y=a x^{2} tenha curvatura igual a 4 na origem, isto é, no ponto (0,0).
Informações fornecidas:
\text{Curva: } y=a x^{2}.
\text{Ponto onde exigimos a curvatura: } (0,0).
\text{Valor desejado da curvatura na origem: } 4.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula prática da curvatura para uma curva dada como gráfico de uma função y=f(x). A curvatura \kappa em um ponto com coordenada x é dada por
\kappa(x)=\frac{|f''(x)|}{\bigl(1+(f'(x))^{2}\bigr)^{3/2}}.
Explicando a fórmula de forma simples:
  • f'(x) é a derivada primeira; representa a inclinação da reta tangente em x.
  • f''(x) é a derivada segunda; informa a “curvatura” local da função (quanto a inclinação está mudando).
  • O denominador \bigl(1+(f'(x))^{2}\bigr)^{3/2} corrige a contribuição de f'' quando a tangente não é horizontal; se a tangente é horizontal ( f'(x)=0 ) o denominador vale 1.
  • O valor de \kappa é sempre não negativo; por isso usamos valor absoluto em |f''(x)|.
Se quiser uma motivação rápida: a fórmula vem da expressão geométrica que mede a velocidade de variação do ângulo tangente por unidade de comprimento de curva; mas aqui usaremos a fórmula pronta porque é a ferramenta direta para o problema.

Passo 3

Aplicamos a fórmula à nossa função f(x)=a x^{2}. Calculamos as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(a x^{2}\bigr)=2a x,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2a x\bigr)=2a.
Agora escrevemos a curvatura em um ponto x:
\kappa(x)=\frac{|2a|}{\bigl(1+(2a x)^{2}\bigr)^{3/2}}.

Passo 4

Precisamos da curvatura na origem, ou seja em x=0. Substituindo x=0 na expressão de \kappa(x):
\kappa(0)=\frac{|2a|}{\bigl(1+(2a\cdot 0)^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{|2a|}{1^{3/2}}=|2a|.
Portanto a curvatura na origem vale |2a|.

Passo 5

Impondo a condição do enunciado, queremos \kappa(0)=4. Assim:
|2a|=4.
Resolvendo a equação valor absoluto:
2|a|=4 \quad\Rightarrow\quad |a|=2.
Logo as soluções reais são a=2 e a=-2. Faz sentido físico/geometrico: o sinal de a só inverte a concavidade (para cima ou para baixo), mas a magnitude da curvatura na origem depende de |a|.

Resposta

a=2
a=-2

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