[1,5 ponto] Determine
de modo que a parábola
tenha curvatura 4 na origem.
Passo 1
O enunciado pede: determinar
tal que a parábola dada por
tenha curvatura igual a
na origem, isto é, no ponto
.
Informações fornecidas:
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula prática da curvatura para uma curva dada como gráfico de uma função
. A curvatura
em um ponto com coordenada
é dada por
Explicando a fórmula de forma simples:
-
é a derivada primeira; representa a inclinação da reta tangente em . -
é a derivada segunda; informa a “curvatura” local da função (quanto a inclinação está mudando). - O denominador
corrige a contribuição de quando a tangente não é horizontal; se a tangente é horizontal ( ) o denominador vale . - O valor de
é sempre não negativo; por isso usamos valor absoluto em .
Se quiser uma motivação rápida: a fórmula vem da expressão geométrica que mede a velocidade de variação do ângulo tangente por unidade de comprimento de curva; mas aqui usaremos a fórmula pronta porque é a ferramenta direta para o problema.
Passo 3
Aplicamos a fórmula à nossa função
. Calculamos as derivadas:
Agora escrevemos a curvatura em um ponto
:
Passo 4
Precisamos da curvatura na origem, ou seja em
. Substituindo
na expressão de
:
Portanto a curvatura na origem vale
.
Passo 5
Impondo a condição do enunciado, queremos
. Assim:
Resolvendo a equação valor absoluto:
Logo as soluções reais são
e
. Faz sentido físico/geometrico: o sinal de
só inverte a concavidade (para cima ou para baixo), mas a magnitude da curvatura na origem depende de
.