Considere um cabo coaxial de comprimento l, cujo condutor interior é um fio de raio a que transporta a corrente I e cujo condutor exterior é um cilindro de raio b, coaxial com o fio, e transportando uma corrente de igual intensidade mas fluindo em sentido contrário. O espaço entre os condutores está preenchido por dois tipos de materiais magnéticos, de permeabilidades \mu_{a}, para a<r<R, e \mu_{b}, para R<r<b. Considere a, b \ll l.
a) Determine o campo \vec{B} na região entre os condutores.
b) Calcule a força que se exerce sobre cada uma das duas metades do condutor exterior.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o campo magnético \vec{B} na região entre os condutores, isto é para a<r<b, sabendo que o espaço entre os condutores é dividido em duas zonas: a<r<R com permeabilidade \mu_a e R<r<b com permeabilidade \mu_b. Os dados relevantes são: raio do fio interno a, raio interior do condutor externo b, corrente no fio interno I (no sentido +z, por exemplo) e corrente no condutor externo de mesma intensidade mas sentido contrário -I. O comprimento do cabo é l e a,b\ll l.
  2. (b) Calcular a força que se exerce sobre cada uma das duas metades do condutor exterior (isto é, dividir o cilindro externo em duas metades longitudinais e achar a força sobre uma metade).
Informações importantes que vou usar explicitamente: para a<r<R o material tem permeabilidade \mu_a; para R<r<b tem permeabilidade \mu_b. Vou assumir simetria cilíndrica e correntes estacionárias (magnetostática).

Passo 2

Princípio físico e simetria — como pensar nisso de modo simples e sem pânico:
  • Por simetria cilíndrica o campo magnético entre os condutores tem apenas componente azimutal (no sentido \hat{\varphi}) e depende só de r: \vec{B}(r)=B_\varphi(r)\,\hat{\varphi}.
  • Usamos a forma integral da Lei de Ampère (magnetostatica) escrita em termos de \vec{H}:
\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente elétrica total atravessando a área limitada pelo laço de integração.
  • A relação entre \vec{B} e \vec{H} no material é
\vec{B}=\mu\,\vec{H},
onde \mu é a permeabilidade magnética local ( \mu_a ou \mu_b).
Vou aplicar Ampère num círculo de raio r centrado no eixo. Para a<r<b o único elemento de corrente atravessando esse círculo é a corrente do condutor interno I (a corrente do condutor externo, que flui em r=b, está fora do laço se r<b), portanto I_{\text{enc}}=I.

Passo 3

Cálculo do campo magnético em a<r<R:
Para um círculo de raio r com a<r<R a integral de Ampère dá
\oint \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=H_\varphi(r)\,(2\pi r)=I.
Logo
H_\varphi(r)=\frac{I}{2\pi r}.
Usando \vec{B}=\mu_a\vec{H} obtemos, para a<r<R,
\vec{B}(r)=\mu_a\,\frac{I}{2\pi r}\,\hat{\varphi}.
Explicação didática das variáveis: I é a corrente do fio central, r a distância radial até o ponto onde calculamos \vec{B}, \mu_a a permeabilidade do material nessa zona, e \hat{\varphi} é o vetor unitário na direção azimutal (circunferencial).

Passo 4

Cálculo do campo magnético em R<r<b:
O mesmo raciocínio vale para um laço com R<r<b: a corrente envolvida continua sendo I, portanto
H_\varphi(r)=\frac{I}{2\pi r},
e agora \vec{B}=\mu_b\vec{H}, logo para R<r<b
\vec{B}(r)=\mu_b\,\frac{I}{2\pi r}\,\hat{\varphi}.
Obs.: para r>b o I_{\text{enc}}=I+(-I)=0 e portanto \vec{B}=0 fora do condutor externo (isso confirma a física intuitiva de um cabo coaxial com correntes opostas).

Passo 5

Passando para a força sobre cada metade do condutor externo — ideia física:
  • A força sobre um elemento que transporta corrente é dada pela força de Lorentz na forma macroscópica \mathrm{d}\vec{F}=(I\,\mathrm{d}\vec{\ell})\times\vec{B}. Para um condutor fino cilíndrico é conveniente usar a densidade de corrente superficial (corrente por unidade de comprimento azimutal) \vec{K}.
  • Se o condutor externo é um cilindro fino com corrente total de magnitude I distribuída uniformemente em torno da circunferência, a densidade de corrente superficial (corrente por unidade de comprimento no sentido azimutal) tem magnitude
K=\frac{I}{2\pi b},
e direção axial (a corrente corre ao longo do eixo \pm\hat{z}; aqui a corrente do condutor externo tem sentido oposto ao do fio interno, então seu vetor é -I\,\hat{z}, mas usaremos magnitudes e veremos o sinal da força pela regra do produto vetorial).
  • A força por unidade de área sobre a superfície é \vec{f}=\vec{K}\times\vec{B}. Para uma faixa de largura b\,\mathrm{d}\varphi (por unidade de comprimento axial) a força por unidade de comprimento vale
\frac{\mathrm{d}F}{L}=K\,B(b)\,b\,\mathrm{d}\varphi,
onde B(b) é o módulo do campo magnético imediatamente dentro da superfície do condutor externo (pegar o valor do campo vindo do interior, isto é r\to b^-).

Passo 6

Avaliação explícita e integração para a metade do cilindro:
  • O campo magnético imediatamente dentro do condutor externo é, usando a expressão da região R<r<b,
B(b)=\mu_b\,\frac{I}{2\pi b}.
  • Substituindo K=\dfrac{I}{2\pi b} e B(b) na expressão de \dfrac{\mathrm{d}F}{L} obtemos
\frac{\mathrm{d}F}{L}=\frac{I}{2\pi b}\cdot \mu_b\frac{I}{2\pi b}\cdot b\,\mathrm{d}\varphi =\frac{\mu_b I^2}{(2\pi)^2 b}\, \mathrm{d}\varphi.
  • Observação: a direção do produto vetorial dá \hat{r} (radial); como as correntes são opostas, a força é radial no sentido de empurrar o cilindro para fora (repulsão).
  • A força por unidade de comprimento sobre metade do cilindro corresponde à integração em \varphi sobre um intervalo de comprimento angular \pi:
\frac{F_{\text{metade}}}{L}=\int_{0}^{\pi}\frac{\mu_b I^2}{(2\pi)^2 b}\,\mathrm{d}\varphi =\frac{\mu_b I^2}{(2\pi)^2 b}\,\pi =\frac{\mu_b I^2}{4\pi b}.
  • Multiplicando por L=l obtemos a força total sobre cada metade:
F_{\text{metade}}=\frac{\mu_b I^2}{4\pi b}\,l.
Direção: radial para fora (cada metade é empurrada para fora, ou seja, afastando-se do eixo). Se preferir a forma por unidade de comprimento, é \dfrac{F_{\text{metade}}}{l}=\dfrac{\mu_b I^2}{4\pi b}.

Passo 7

Comentário final e verificação rápida:
  • As expressões para \vec{B} nas duas zonas são consistentes com Ampère e com \vec{B}=\mu\vec{H}.
  • A força sobre o condutor externo depende apenas de \mu_b porque a força age na superfície r=b e o campo na superfície vem da região imediata interna, que tem permeabilidade \mu_b.
  • Sinal físico: correntes opostas se repelem, por isso a força é radial para fora.

Resposta

\vec{B}(r)=\begin{cases}\displaystyle \mu_a\,\dfrac{I}{2\pi r}\,\hat{\varphi}, & a<r<R,\\[6pt]\displaystyle \mu_b\,\dfrac{I}{2\pi r}\,\hat{\varphi}, & R<r<b.\end{cases}
F_{\text{cada metade}}=\dfrac{\mu_b I^2}{4\pi b}\,l (direção: radial, para fora; por unidade de comprimento \dfrac{F_{\text{cada metade}}}{l}=\dfrac{\mu_b I^2}{4\pi b}).]

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