Considere um cabo coaxial de comprimento
, cujo condutor interior é um fio de raio
que transporta a corrente
e cujo condutor exterior é um cilindro de raio
, coaxial com o fio, e transportando uma corrente de igual intensidade mas fluindo em sentido contrário. O espaço entre os condutores está preenchido por dois tipos de materiais magnéticos, de permeabilidades
, para
, e
, para
. Considere
.
a) Determine o campo
na região entre os condutores.
b) Calcule a força que se exerce sobre cada uma das duas metades do condutor exterior.
a) Determine o campo
b) Calcule a força que se exerce sobre cada uma das duas metades do condutor exterior.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o campo magnético
na região entre os condutores, isto é para , sabendo que o espaço entre os condutores é dividido em duas zonas: com permeabilidade e com permeabilidade . Os dados relevantes são: raio do fio interno , raio interior do condutor externo , corrente no fio interno (no sentido +z, por exemplo) e corrente no condutor externo de mesma intensidade mas sentido contrário . O comprimento do cabo é e . - (b) Calcular a força que se exerce sobre cada uma das duas metades do condutor exterior (isto é, dividir o cilindro externo em duas metades longitudinais e achar a força sobre uma metade).
Informações importantes que vou usar explicitamente: para
o material tem permeabilidade
; para
tem permeabilidade
. Vou assumir simetria cilíndrica e correntes estacionárias (magnetostática).
Passo 2
Princípio físico e simetria — como pensar nisso de modo simples e sem pânico:
- Por simetria cilíndrica o campo magnético entre os condutores tem apenas componente azimutal (no sentido
) e depende só de : . - Usamos a forma integral da Lei de Ampère (magnetostatica) escrita em termos de
:
onde
é a corrente elétrica total atravessando a área limitada pelo laço de integração.
- A relação entre
e no material é
onde
é a permeabilidade magnética local (
ou
).
Vou aplicar Ampère num círculo de raio
centrado no eixo. Para
o único elemento de corrente atravessando esse círculo é a corrente do condutor interno
(a corrente do condutor externo, que flui em
, está fora do laço se
), portanto
.
Passo 3
Cálculo do campo magnético em
:
Para um círculo de raio
com
a integral de Ampère dá
Logo
Usando
obtemos, para
,
Explicação didática das variáveis:
é a corrente do fio central,
a distância radial até o ponto onde calculamos
,
a permeabilidade do material nessa zona, e
é o vetor unitário na direção azimutal (circunferencial).
Passo 4
Cálculo do campo magnético em
:
O mesmo raciocínio vale para um laço com
: a corrente envolvida continua sendo
, portanto
e agora
, logo para
Obs.: para
o
e portanto
fora do condutor externo (isso confirma a física intuitiva de um cabo coaxial com correntes opostas).
Passo 5
Passando para a força sobre cada metade do condutor externo — ideia física:
- A força sobre um elemento que transporta corrente é dada pela força de Lorentz na forma macroscópica
. Para um condutor fino cilíndrico é conveniente usar a densidade de corrente superficial (corrente por unidade de comprimento azimutal) . - Se o condutor externo é um cilindro fino com corrente total de magnitude
distribuída uniformemente em torno da circunferência, a densidade de corrente superficial (corrente por unidade de comprimento no sentido azimutal) tem magnitude
e direção axial (a corrente corre ao longo do eixo
; aqui a corrente do condutor externo tem sentido oposto ao do fio interno, então seu vetor é
, mas usaremos magnitudes e veremos o sinal da força pela regra do produto vetorial).
- A força por unidade de área sobre a superfície é
. Para uma faixa de largura (por unidade de comprimento axial) a força por unidade de comprimento vale
onde
é o módulo do campo magnético imediatamente dentro da superfície do condutor externo (pegar o valor do campo vindo do interior, isto é
).
Passo 6
Avaliação explícita e integração para a metade do cilindro:
- O campo magnético imediatamente dentro do condutor externo é, usando a expressão da região
,
- Substituindo
e na expressão de obtemos
- Observação: a direção do produto vetorial dá
(radial); como as correntes são opostas, a força é radial no sentido de empurrar o cilindro para fora (repulsão). - A força por unidade de comprimento sobre metade do cilindro corresponde à integração em
sobre um intervalo de comprimento angular :
- Multiplicando por
obtemos a força total sobre cada metade:
Direção: radial para fora (cada metade é empurrada para fora, ou seja, afastando-se do eixo). Se preferir a forma por unidade de comprimento, é
.
Passo 7
Comentário final e verificação rápida:
- As expressões para
nas duas zonas são consistentes com Ampère e com . - A força sobre o condutor externo depende apenas de
porque a força age na superfície e o campo na superfície vem da região imediata interna, que tem permeabilidade . - Sinal físico: correntes opostas se repelem, por isso a força é radial para fora.