[2 pontos] Decida se cada item é verdadeiro ou falso. Justifique suas respostas.
(a) Se C_{1} e C_{2} são caminhos distintos ligando os pontos (0,0) e (1,1), então as integrais abaixo diferem
\int_{C_{1}} 2 x y d x+x^{2} d y \text { e } \int_{C_{2}} 2 x y d x+x^{2} d y
(b) Se C é um caminho fechado, então \int_{C} 2 x y d x+x^{2} d y=0.

Passo 1

O enunciado dá a forma diferencial (integrando ao longo de caminhos no plano)
\omega=2xy\,dx+x^{2}\,dy
e pede que decidamos verdadeiro/falso para duas afirmações:
(a) Se C_{1} e C_{2} são caminhos distintos ligando (0,0) e (1,1), então as integrais
\int_{C_{1}}2xy\,dx+x^{2}\,dy\quad\text{e}\quad\int_{C_{2}}2xy\,dx+x^{2}\,dy
diferem.
(b) Se C é um caminho fechado, então
\int_{C}2xy\,dx+x^{2}\,dy=0.
Informações relevantes do enunciado: a forma diferencial é bem definida para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2} (pois são polinômios), e os pontos finais/condições estão explícitos.

Passo 2

Vou explicar um conceito chave que usamos para decidir as duas afirmações: o que significa uma forma P\,dx+Q\,dy ser exata e por que isso importa.
Definição (intuitiva): Uma forma \omega=P\,dx+Q\,dy é exata se existe uma função escalar f(x,y) tal que
df=f_x\,dx+f_y\,dy = P\,dx+Q\,dy.
Isto é, se pudermos encontrar f com \partial f/\partial x = P e \partial f/\partial y = Q.
Propriedade importante: Numa região simplesmente conectada (como \mathbb{R}^{2}), uma condição necessária e suficiente para exatidão (quando P e Q têm derivadas parciais contínuas) é a igualdade das derivadas cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Se isso vale, então os integrais de linha entre dois pontos dependem somente dos pontos finais (são independentes do caminho) e, consequentemente, o integral ao longo de qualquer curva fechada é 0.

Passo 3

Apliquei a condição às componentes da nossa forma. Aqui P(x,y)=2xy e Q(x,y)=x^{2}. Calculo as derivadas cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x (ambas iguais a 2x) e P,Q são polinômios (logo têm derivadas contínuas) a forma é exata em toda \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conectada). Isso já dá a ideia geral: integração entre dois pontos não depende do caminho e toda integral sobre curva fechada vale zero. Vou mostrar explicitamente a função potencial para ficar cristalino.

Passo 4

Encontro a função potencial f tal que df=\omega. Integro P em relação a x:
\int 2xy\,dx = x^{2}y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y. Agora derivo essa expressão em relação a y e comparo com Q:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y+h(y)\bigr)=x^{2}+h'(y)
que deve ser igual a Q(x,y)=x^{2}. Logo h'(y)=0, isto é, h é constante. Posso escolher a constante zero. Assim uma função potencial é
f(x,y)=x^{2}y.
Verificação rápida: f_x=2xy e f_y=x^{2}, bate com P e Q. Beleza.

Passo 5

Uso a consequência prática da exatidão: integral de linha entre dois pontos A e B é simplesmente
\int_{A}^{B} \omega = f(B)-f(A).
Tomando A=(0,0) e B=(1,1) com a função potencial f(x,y)=x^{2}y, obtemos
\int_{(0,0)}^{(1,1)} 2xy\,dx+x^{2}\,dy = f(1,1)-f(0,0)=1^{2}\cdot1-0=1.
Isso vale para qualquer caminho que ligue (0,0) a (1,1). Portanto, as integrais ao longo de C_{1} e C_{2} não diferem: são iguais a 1. Conclusão sobre (a): a afirmação “então as integrais diferem” é falsa.
Observação didática: se você preferir checar de outro jeito, pode parametrizar dois caminhos diferentes e calcular explicitamente, mas isso dá muito mais trabalho; reconhecer exatidão e usar a função potencial é o atalho elegante pedido em prova.

Passo 6

Agora sobre integral em caminho fechado. Se C é fechado, então os pontos inicial e final coincidem; tomando qualquer potencial f como acima,
\int_{C} \omega = f(\text{final})-f(\text{inicial})=0.
Portanto a afirmação (b) é verdadeira.
Complemento (opcional para fixar o conceito): via o Teorema de Green (para curvas simples e orientação positiva), temos
\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \iint_{D}\!\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
No nosso caso \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=2x-2x=0, então o integral sobre qualquer curva fechada simples é 0; isto está coerente com a exatidão.

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro

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