[2 pontos] Decida se cada item é verdadeiro ou falso. Justifique suas respostas.
(a) Se
e
são caminhos distintos ligando os pontos
e
, então as integrais abaixo diferem
(b) Se
é um caminho fechado, então
.
(a) Se
Passo 1
O enunciado dá a forma diferencial (integrando ao longo de caminhos no plano)
e pede que decidamos verdadeiro/falso para duas afirmações:
(a) Se
e
são caminhos distintos ligando
e
, então as integrais
diferem.
(b) Se
é um caminho fechado, então
Informações relevantes do enunciado: a forma diferencial é bem definida para todo
(pois são polinômios), e os pontos finais/condições estão explícitos.
Passo 2
Vou explicar um conceito chave que usamos para decidir as duas afirmações: o que significa uma forma
ser exata e por que isso importa.
Definição (intuitiva): Uma forma
é exata se existe uma função escalar
tal que
Isto é, se pudermos encontrar
com
e
.
Propriedade importante: Numa região simplesmente conectada (como
), uma condição necessária e suficiente para exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é a igualdade das derivadas cruzadas:
Se isso vale, então os integrais de linha entre dois pontos dependem somente dos pontos finais (são independentes do caminho) e, consequentemente, o integral ao longo de qualquer curva fechada é
.
Passo 3
Apliquei a condição às componentes da nossa forma. Aqui
e
. Calculo as derivadas cruzadas:
Como
(ambas iguais a
) e
são polinômios (logo têm derivadas contínuas) a forma é exata em toda
(que é simplesmente conectada). Isso já dá a ideia geral: integração entre dois pontos não depende do caminho e toda integral sobre curva fechada vale zero. Vou mostrar explicitamente a função potencial para ficar cristalino.
Passo 4
Encontro a função potencial
tal que
. Integro
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender só de
. Agora derivo essa expressão em relação a
e comparo com
:
que deve ser igual a
. Logo
, isto é,
é constante. Posso escolher a constante zero. Assim uma função potencial é
Verificação rápida:
e
, bate com
e
. Beleza.
Passo 5
Uso a consequência prática da exatidão: integral de linha entre dois pontos
e
é simplesmente
Tomando
e
com a função potencial
, obtemos
Isso vale para qualquer caminho que ligue
a
. Portanto, as integrais ao longo de
e
não diferem: são iguais a
. Conclusão sobre (a): a afirmação “então as integrais diferem” é falsa.
Observação didática: se você preferir checar de outro jeito, pode parametrizar dois caminhos diferentes e calcular explicitamente, mas isso dá muito mais trabalho; reconhecer exatidão e usar a função potencial é o atalho elegante pedido em prova.
Passo 6
Agora sobre integral em caminho fechado. Se
é fechado, então os pontos inicial e final coincidem; tomando qualquer potencial
como acima,
Portanto a afirmação (b) é verdadeira.
Complemento (opcional para fixar o conceito): via o Teorema de Green (para curvas simples e orientação positiva), temos
No nosso caso
, então o integral sobre qualquer curva fechada simples é
; isto está coerente com a exatidão.
Resposta
(a) Falso
(b) Verdadeiro
(b) Verdadeiro