Considere dois planos paralelos, percorridos por correntes estacionárias, de densidade uniforme \vec{k}_{0}= -k \hat{e}_{z} e \vec{k}_{d}=k \hat{e}_{z}, localizados em y=0 e y=d, respetivamente.
a) Calcule o campo magnético em todo o espaço.
b) Escreva as condições de fronteira a que o campo \vec{B} deve satisfazer e confirme a sua validade para o campo determinado na alínea a).
c) Considere a saída de um seletor de velocidades de iões positivos colocada num ponto P equidistante dos planos, ( y=d / 2 ). Supondo que os iões têm massa m e carga q e são ejetados com velocidade \vec{v}=v_{0} \hat{e}_{z} calcule o valor mínimo que k poderia ter para que os iões passem tangencialmente a um dos planos de corrente sem colidir com ele. Faça um esboço da trajetória dos iões.
Passo 1
O enunciado dá duas folhas (planos) infinitas paralelas, cada uma com densidade superficial de corrente uniforme (corrente por unidade de comprimento) e posições conhecidas. As informações importantes são:
A folha em y=0 tem densidade de corrente superficial \vec{k}_{0}=-k\hat{e}_{z}.
A folha em y=d tem densidade de corrente superficial \vec{k}_{d}=+k\hat{e}_{z}.
As correntes são estacionárias e uniformes sobre cada folha (planos infinitos no plano x\!-\!z).
As perguntas são:
a) Calcular o campo magnético \vec{B} em todo o espaço (ou seja, para y<0, 0<y<d e y>d).
b) Escrever as condições de fronteira que \vec{B} deve satisfazer nas superfícies de corrente e confirmar que o campo da alínea (a) satisfaz essas condições.
c) Um seletor de velocidades em P em y=d/2 lança iões positivos de massa m, carga q e velocidade inicial \vec{v}=v_{0}\hat{e}_{z}. Calcular o menor valor de k tal que os iões passem tangencialmente a um dos planos sem colidir com ele e esboçar qualitativamente a trajetória.
Passo 2
Breve revisão didática (ferramentas que vamos usar). Duas ideias-chave:
Lei de Ampère (em regime magnetostático sem campos variáveis): para um caminho fechado qualquer,
onde I_{\text{enc}} é a corrente atravessada pela superfície delimitada pelo contorno. Essa lei nos permite calcular saltos nas componentes tangenciais de \vec{B} quando existe uma corrente superficial uniforme. Vou usar uma versão prática: para uma folha infinita com densidade superficial de corrente \vec{K} constante, o salto das componentes tangenciais de \vec{B} atravessando a folha é dado por
onde \hat{n} é o versor normal da folha apontando do lado “abaixo” para o lado “acima”. Esta fórmula é obtida a partir da lei de Ampère aplicada a um retângulo que corta a folha (vou mostrar a ideia no próximo passo).
Simetria: para uma folha infinita uniforme de corrente ao longo de \hat{z} que está no plano x\!-\!z (ou seja, varre todo x,z em uma dada y), o campo magnético só pode depender de y e apontar na direção \hat{x} (ou seja, tangencial ao plano), por simetria de translação em x e z e reflexão. O módulo do campo devido a uma folha isolada é constante fora da folha.
Passo 3
Campo magnético de uma folha infinita com densidade superficial \vec{K}=K\hat{z} — cálculo rápido por Ampère (aulas práticas). Escolhemos um retângulo de largura L paralelo ao eixo x que atravessa a folha, com lados paralelos a \hat{x} e \hat{y}. Supondo que a componente de \vec{B} seja \pm B\hat{x} nos dois lados (constante por simetria), a integral de linha ao longo do retângulo dá
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B_{\text{acima}} L - B_{\text{abaixo}} L.
A corrente atravessada é I_{\text{enc}}=K L (corrente superficial vezes comprimento L). Pela Lei de Ampère:
B_{\text{acima}}-B_{\text{abaixo}}=\mu_{0}K.
Por simetria de uma folha isolada normalmente esperamos que os módulos acima e abaixo sejam iguais e opostos (campo “salta” e tem direção trocada), então podemos tomar B_{\text{acima}}=-B_{\text{abaixo}}. Substituindo nessa equação obtém-se 2B_{\text{acima}}=\mu_{0}K, ou seja o módulo
Para determinar o sentido (sinal), podemos usar a regra da mão direita (ou a fórmula vetorial de salto) que liga o vetor \vec{K} com a orientação do salto de \vec{B}: de forma compacta
Isto fixa o sentido correto da componente tangencial.
Passo 4
Aplicação às nossas duas folhas (superposição). Vamos tratar cada folha separadamente e depois somar (superposição linear do campo magnético em magnetostática).
Dados: \vec{k}_{0}=-k\hat{z} na folha y=0. Escolhemos a normal da folha apontando para +\hat{y} (ou seja, de y<0 para y>0). Para uma folha com \vec{K}=-k\hat{z} o salto vetorial implica (pela regra acima) que a componente tangencial de \vec{B} vale, imediatamente acima de y=0,
\vec{B}^{(0)}(y>0)=+\frac{\mu_{0}k}{2}\hat{x},
e imediatamente abaixo (y<0),
\vec{B}^{(0)}(y<0)=-\frac{\mu_{0}k}{2}\hat{x}.
(estas expressões resultam de aplicar a fórmula do salto e a simetria; expliquei o método no passo anterior.)
Para a folha em y=d com \vec{k}_{d}=+k\hat{z}, escolhendo a normal apontando para +\hat{y} (do lado y<d para y>d), obtemos:
\vec{B}^{(d)}(y<d)=+\frac{\mu_{0}k}{2}\hat{x},
\vec{B}^{(d)}(y>d)=-\frac{\mu_{0}k}{2}\hat{x}.
Agora somamos as contribuições das duas folhas em cada região:
Portanto o campo resultante é nulo fora das folhas e uniforme entre elas, apontando na direção +\hat{x}.
Passo 5
Escrevo o resultado final de (a) em forma compacta e explico fisicamente: entre as folhas (região 0<y<d) temos linhas de campo retas e uniformes em +\hat{x}, fora das folhas campo zero — isto é semelhante a um condensador magnético de duas folhas com correntes opostas: a região entre as correntes contém o campo.
Agora passo para a alínea (b) explicitamente verificando as condições de fronteira:
As condições de fronteira magnéticas relevantes são:
porque \vec{k}_{d}=+k\hat{z}. OK. Assim as condições de fronteira estão confirmadas.
Passo 6
Agora a alínea (c): movimento dos iões no campo determinado. Entre as folhas (onde o ião parte), \vec{B}=\mu_{0}k\hat{x}. A força magnética é a força de Lorentz:
\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}.
Com \vec{v}(0)=v_{0}\hat{z} e \vec{B}=\mu_{0}k\hat{x},
Atinge o máximo em y quando \cos(\omega t)=-1, com
y_{\max}=y_{0}+2r.
Queremos que o ião passe tangencialmente à folha em y=d sem colidir, isto é, atinja y=d num instante em que v_{y}=0. Esses instantes correspondem exatamente aos extremos de y, então a condição de tangência é
y_{\max}=d.
Com y_{0}=d/2 obtemos d=d/2+2r, daí
r=\frac{d}{4}.
Substituindo r=\dfrac{m v_{0}}{q\mu_{0}k} obtemos a condição sobre k:
Interpretação: se k<k_{\min} então r>d/4? Verifique o sentido: como r\propto 1/k, menor k implica maior r. Se r>d/4 então y_{\max}=d/2+2r>d e o ião atravessará a posição y=d com v_{y}\neq 0, colidindo a folha. Portanto, para que o ião não colida e apenas passe tangencialmente (caso limite), precisamos que r\le d/4, i.e. k\ge k_{\min}. O enunciado pediu o valor mínimo de k para que passem tangencialmente: este k_{\min} é o valor limite encontrado acima.
Trajetória (esboço mental): no plano y\!-\!z é um arco de circunferência com centro em y_{c}=y_{0}+r, raio r. O ião parte de y=d/2 movendo-se inicialmente em +\hat{z} e curva para cima (em direção a y=d), descrevendo um arco circular; no caso limite k=k_{\min} o arco toca tangencialmente a y=d (ou seja, o ponto mais alto do arco fica em y=d).
Resposta
a) \displaystyle \vec{B}(y)=\begin{cases}0 & y<0,\\[4pt]\mu_{0}k\hat{e}_{x} & 0<y<d,\\[4pt]0 & y>d,\end{cases}
b) Condições de fronteira: \displaystyle \hat{n}\cdot\bigl(\vec{B}_{\text{acima}}-\vec{B}_{\text{abaixo}}\bigr)=0 e \displaystyle \hat{n}\times\bigl(\vec{B}_{\text{acima}}-\vec{B}_{\text{abaixo}}\bigr)=\mu_{0}\vec{K}.
Verificação: em y=0 com \vec{K}=\vec{k}_{0}=-k\hat{z} obtemos \hat{y}\times(\mu_{0}k\hat{x}-0)=-\mu_{0}k\hat{z}=\mu_{0}\vec{k}_{0}; em y=d com \vec{K}=\vec{k}_{d}=+k\hat{z} obtemos \hat{y}\times(0-\mu_{0}k\hat{x})=\mu_{0}k\hat{z}=\mu_{0}\vec{k}_{d}. As condições estão satisfeitas.
c) Campo entre folhas B=\mu_{0}k. Raio de curvatura r=\dfrac{m v_{0}}{q\mu_{0}k}. Condição de tangência a y=d com y_{0}=d/2 dá r=d/4. Assim \displaystyle k_{\min}=\frac{4m v_{0}}{q\mu_{0} d}. A trajetória é um arco de circunferência no plano y\!-\!z que, no caso limite, toca tangencialmente a y=d.]