O enunciado pede: determinar a matriz A que satisfaz a igualdade
A B^{-1}=\left[\left(A^{-1}\right)^{2}-A^{-1}\right]^{-1},
onde foi dada a matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]3 & 5\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão envolve A^{-1}, portanto supõe-se que A é invertível.
Precisa-se encontrar explicitamente A.]
Passo 2
Substituição útil: defina \,X=A^{-1}. Isso é comum para simplificar equações que misturam A e A^{-1}. Com essa definição temos A=X^{-1}. Reescrevendo a equação inicial em termos de X:
X^{-1}B^{-1}=\bigl(X^{2}-X\bigr)^{-1}.
Explicação didática: X^{-1}B^{-1} vem de A B^{-1} substituindo A=X^{-1}. O lado direito já está em função de X.
Passo 3
Tomar inverso dos dois membros da igualdade. Para matrizes invertíveis vale \bigl(M^{-1}\bigr)^{-1}=M e \bigl(PQ\bigr)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}. Aplicando isso:
Justificativa passo a passo: o inverso de X^{-1}B^{-1} é B X porque inverte a ordem e inverte cada fator; o inverso do inverso do lado direito retorna X^{2}-X.
Passo 4
Reorganizando a equação obtida:
X^{2}-X - B X = 0.
Agrupando termos:
X^{2} - (I+B)X = 0.
Observe que isso é igual a
\bigl(X-(I+B)\bigr)X = 0,
porque \bigl(X-(I+B)\bigr)X = X^2 - (I+B)X. Aqui foi usada a multiplicação usual de matrizes (atenção à ordem: subtração e multiplicação são na ordem indicada).
Passo 5
Agora usamos que X=A^{-1} é invertível. Como X é invertível, podemos multiplicar a igualdade \bigl(X-(I+B)\bigr)X=0 pela direita por X^{-1}, obtendo
X-(I+B)=0.
Detalhe lógico: se Y X=0 e X é invertível, multiplicando por X^{-1} pela direita dá Y=0. Aplicando aqui, Y=X-(I+B). Portanto
X=I+B.
Passo 6
Voltando à A: como X=A^{-1}, temos
A = X^{-1} = (I+B)^{-1}.
Vamos calcular I+B e seu inverso explicitamente. Primeiro