[1.0 PONTO] Determine a matriz A, sabendo que
A B^{-1}=\left[\left(A^{-1}\right)^{2}-A^{-1}\right]^{-1}
onde
B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 3 & 5 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a matriz A que satisfaz a igualdade
A B^{-1}=\left[\left(A^{-1}\right)^{2}-A^{-1}\right]^{-1},
onde foi dada a matriz
B=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]3 & 5\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve A^{-1}, portanto supõe-se que A é invertível.
  • Precisa-se encontrar explicitamente A.]

Passo 2

Substituição útil: defina \,X=A^{-1}. Isso é comum para simplificar equações que misturam A e A^{-1}. Com essa definição temos A=X^{-1}. Reescrevendo a equação inicial em termos de X:
X^{-1}B^{-1}=\bigl(X^{2}-X\bigr)^{-1}.
Explicação didática: X^{-1}B^{-1} vem de A B^{-1} substituindo A=X^{-1}. O lado direito já está em função de X.

Passo 3

Tomar inverso dos dois membros da igualdade. Para matrizes invertíveis vale \bigl(M^{-1}\bigr)^{-1}=M e \bigl(PQ\bigr)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}. Aplicando isso:
\bigl(X^{-1}B^{-1}\bigr)^{-1}=\bigl((X^{2}-X)^{-1}\bigr)^{-1}
o que dá
B X = X^{2}-X.
Justificativa passo a passo: o inverso de X^{-1}B^{-1} é B X porque inverte a ordem e inverte cada fator; o inverso do inverso do lado direito retorna X^{2}-X.

Passo 4

Reorganizando a equação obtida:
X^{2}-X - B X = 0.
Agrupando termos:
X^{2} - (I+B)X = 0.
Observe que isso é igual a
\bigl(X-(I+B)\bigr)X = 0,
porque \bigl(X-(I+B)\bigr)X = X^2 - (I+B)X. Aqui foi usada a multiplicação usual de matrizes (atenção à ordem: subtração e multiplicação são na ordem indicada).

Passo 5

Agora usamos que X=A^{-1} é invertível. Como X é invertível, podemos multiplicar a igualdade \bigl(X-(I+B)\bigr)X=0 pela direita por X^{-1}, obtendo
X-(I+B)=0.
Detalhe lógico: se Y X=0 e X é invertível, multiplicando por X^{-1} pela direita dá Y=0. Aplicando aqui, Y=X-(I+B). Portanto
X=I+B.

Passo 6

Voltando à A: como X=A^{-1}, temos
A = X^{-1} = (I+B)^{-1}.
Vamos calcular I+B e seu inverso explicitamente. Primeiro
I+B = \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]3&5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&2\\[2pt]3&6\end{pmatrix}.
Para inverter uma matriz 2\times2 M=\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix} usa-se a fórmula
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\[2pt]-c&a\end{pmatrix},
onde ad-bc é o determinante. Aqui, para I+B temos a=2, b=2, c=3, d=6 e o determinante
\det(I+B)=2\cdot6-2\cdot3=12-6=6.
A adjunta (matriz dos cofatores transposta) é \begin{pmatrix}6&-2\\[2pt]-3&2\end{pmatrix}. Assim
(I+B)^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix}6&-2\\[2pt]-3&2\end{pmatrix}.]

Resposta

A=\begin{pmatrix}1 & -\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix}]

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