Defina o que é uma elipse, e demonstre que a equação de uma elipse com o eixo real contido no eixo \overrightarrow{O Y}, é: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
Pede-se: definir o que é uma elipse e demonstrar que, quando o “eixo real” da elipse está contido no eixo \overrightarrow{O Y} (isto é, a elipse tem centro na origem e o eixo maior é vertical), a sua equação canônica é
\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.
Informações implícitas que usaremos:
A elipse é definida geometricamente por uma propriedade envolvendo dois focos e uma constante (essa definição será explicitada no passo seguinte).
Vamos posicionar o sistema de coordenadas com origem no centro da elipse e com os eixos cartesianos (x,y) ortogonais entre si, com o eixo maior ao longo de y.
Passo 2
Definição e parâmetros (aula rápida e amigável).
Definição (padrão): uma elipse é o conjunto de pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F_1 e F_2 (chamados focos) é constante.
Notação dos parâmetros:
Seja 2a essa constante (ou seja, para todo ponto P da elipse vale \text{dist}(P,F_1)+\text{dist}(P,F_2)=2a). O número a>0 é o semi-eixo maior.
Denotaremos por c a distância do centro da elipse a cada foco; portanto os focos estão a \pm c do centro ao longo do eixo maior.
Chamaremos b ao semi-eixo menor, que satisfaz a relação que veremos depois b^{2}=a^{2}-c^{2}.
Explicação intuitiva: o número a mede “até onde vai” a elipse no sentido do eixo maior; os focos ficam dentro da elipse, separados pela distância 2c.
Passo 3
Posicionamento dos focos e escrita da condição definidora em coordenadas.
Como o enunciado diz que o eixo real (eixo maior) está contido no eixo \overrightarrow{O Y}, escolhemos:
centro O=(0,0),
focos F_1=(0,c) e F_2=(0,-c), com 0<c<a (precisamos de c<a para que a soma das distâncias possa ser 2a).
Para um ponto genérico P=(x,y) da elipse, as distâncias aos focos são, pela fórmula da distância entre pontos,
Observe que o produto das duas expressões é uma diferença de quadrados (pois as duas somam x^{2}+y^{2}+c^{2} e têm sinais opostos no termo linear em y):
Definimos b^{2}=a^{2}-c^{2}. Note que b^{2}>0 porque a>c.
Com essa definição, a equação do passo anterior fica
a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}.
Dividindo ambos os lados por a^{2}b^{2} obtemos
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1.
Reordenando os termos (colocando o termo em y^{2} primeiro, já que o eixo maior é vertical) obtemos exatamente
\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.
Passo 8
Interpretação final e observações práticas (para a prova, amigavelmente).
Resumo dos papéis dos parâmetros:
a é o semi-eixo maior (metade do comprimento do eixo que vai do vértice superior ao inferior da elipse).
b é o semi-eixo menor (metade do comprimento do eixo horizontal).
c é a distância do centro a cada foco, e satisfaz c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Observação sobre sinais: escolhemos os focos no eixo y (coordenadas (0,\pm c)), por isso o denominador a^{2} ficou associado a y^{2}. Se o eixo maior estivesse no eixo x, a equação canônica seria \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Exemplo numérico rápido: se a=5 e c=3, então b^{2}=25-9=16, b=4, e a elipse tem equação \dfrac{y^{2}}{25}+\dfrac{x^{2}}{16}=1. Isso ilustra concretamente como os números aparecem na equação.