Defina o que é uma elipse, e demonstre que a equação de uma elipse com o eixo real contido no eixo \overrightarrow{O Y}, é: \frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede-se: definir o que é uma elipse e demonstrar que, quando o “eixo real” da elipse está contido no eixo \overrightarrow{O Y} (isto é, a elipse tem centro na origem e o eixo maior é vertical), a sua equação canônica é
\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.
  • Informações implícitas que usaremos:
    • A elipse é definida geometricamente por uma propriedade envolvendo dois focos e uma constante (essa definição será explicitada no passo seguinte).
    • Vamos posicionar o sistema de coordenadas com origem no centro da elipse e com os eixos cartesianos (x,y) ortogonais entre si, com o eixo maior ao longo de y.

Passo 2

Definição e parâmetros (aula rápida e amigável).
  • Definição (padrão): uma elipse é o conjunto de pontos P do plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F_1 e F_2 (chamados focos) é constante.
  • Notação dos parâmetros:
    • Seja 2a essa constante (ou seja, para todo ponto P da elipse vale \text{dist}(P,F_1)+\text{dist}(P,F_2)=2a). O número a>0 é o semi-eixo maior.
    • Denotaremos por c a distância do centro da elipse a cada foco; portanto os focos estão a \pm c do centro ao longo do eixo maior.
    • Chamaremos b ao semi-eixo menor, que satisfaz a relação que veremos depois b^{2}=a^{2}-c^{2}.
  • Explicação intuitiva: o número a mede “até onde vai” a elipse no sentido do eixo maior; os focos ficam dentro da elipse, separados pela distância 2c.

Passo 3

Posicionamento dos focos e escrita da condição definidora em coordenadas.
  • Como o enunciado diz que o eixo real (eixo maior) está contido no eixo \overrightarrow{O Y}, escolhemos:
    • centro O=(0,0),
    • focos F_1=(0,c) e F_2=(0,-c), com 0<c<a (precisamos de c<a para que a soma das distâncias possa ser 2a).
  • Para um ponto genérico P=(x,y) da elipse, as distâncias aos focos são, pela fórmula da distância entre pontos,
d_1=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-c)^{2}}=\sqrt{x^{2}+(y-c)^{2}},
d_2=\sqrt{(x-0)^{2}+(y+c)^{2}}=\sqrt{x^{2}+(y+c)^{2}}.
  • A condição definidora da elipse é
d_1+d_2=2a.

Passo 4

Primeiro passo algébrico: manipular a soma de radicais.
  • Partimos de
\sqrt{x^{2}+(y-c)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y+c)^{2}}=2a.
  • Elevamos ao quadrado ambos os lados (cuidando de desenvolver corretamente):
\big(\sqrt{x^{2}+(y-c)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y+c)^{2}}\big)^{2}=4a^{2}.
  • Desenvolvendo o quadrado e usando d_1^{2}=x^{2}+(y-c)^{2}, d_2^{2}=x^{2}+(y+c)^{2}, obtemos
d_1^{2}+d_2^{2}+2d_1 d_2 = 4a^{2}.
  • Agora calcule d_1^{2}+d_2^{2}:
d_1^{2}+d_2^{2} = \big(x^{2}+(y-c)^{2}\big)+\big(x^{2}+(y+c)^{2}\big) =2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}.
  • Substituindo em cima e isolando o produto d_1 d_2
2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}+2d_1 d_2 = 4a^{2} \quad\Rightarrow\quad d_1 d_2 = 2a^{2}-x^{2}-y^{2}-c^{2}.

Passo 5

Segundo passo algébrico: eliminar o produto de radicais elevando ao quadrado de novo.
  • Tomamos a expressão encontrada e elevamos ao quadrado:
(d_1 d_2)^{2} = \big(2a^{2}-x^{2}-y^{2}-c^{2}\big)^{2}.
  • Mas (d_1 d_2)^{2}=d_1^{2}d_2^{2}. Substituindo d_1^{2} e d_2^{2} temos
d_1^{2}d_2^{2}=\big(x^{2}+(y-c)^{2}\big)\big(x^{2}+(y+c)^{2}\big).
  • Observe que o produto das duas expressões é uma diferença de quadrados (pois as duas somam x^{2}+y^{2}+c^{2} e têm sinais opostos no termo linear em y):
\big(x^{2}+(y-c)^{2}\big)\big(x^{2}+(y+c)^{2}\big) =(x^{2}+y^{2}+c^{2})^{2}-(2cy)^{2}.
  • Portanto a igualdade (produto ao quadrado) fica
(x^{2}+y^{2}+c^{2})^{2}-4c^{2}y^{2}=\big(2a^{2}-x^{2}-y^{2}-c^{2}\big)^{2}.

Passo 6

Expandir e simplificar para obter a forma quadrática em x^{2} e y^{2}.
  • Denote S=x^{2}+y^{2}+c^{2}. A igualdade do passo anterior é
S^{2}-4c^{2}y^{2}=(2a^{2}-S)^{2}=4a^{4}-4a^{2}S+S^{2}.
  • Cancelando S^{2} dos dois lados obtemos
-4c^{2}y^{2}=4a^{4}-4a^{2}S.
  • Dividindo por 4 e reorganizando:
-c^{2}y^{2}=a^{4}-a^{2}S \quad\Rightarrow\quad a^{2}S-c^{2}y^{2}=a^{4}.
  • Substituindo S=x^{2}+y^{2}+c^{2} e expandindo:
a^{2}(x^{2}+y^{2}+c^{2})-c^{2}y^{2}=a^{4}
\Rightarrow\quad a^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}+a^{2}c^{2}-c^{2}y^{2}=a^{4}.
  • Agrupando os termos em y^{2}:
a^{2}x^{2}+(a^{2}-c^{2})y^{2}+a^{2}c^{2}=a^{4}.
  • Subtraindo a^{2}c^{2} de ambos os lados:
a^{2}x^{2}+(a^{2}-c^{2})y^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2}).

Passo 7

Introduzir b e chegar à forma canônica.
  • Definimos b^{2}=a^{2}-c^{2}. Note que b^{2}>0 porque a>c.
  • Com essa definição, a equação do passo anterior fica
a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}.
  • Dividindo ambos os lados por a^{2}b^{2} obtemos
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1.
  • Reordenando os termos (colocando o termo em y^{2} primeiro, já que o eixo maior é vertical) obtemos exatamente
\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 8

Interpretação final e observações práticas (para a prova, amigavelmente).
  • Resumo dos papéis dos parâmetros:
    • a é o semi-eixo maior (metade do comprimento do eixo que vai do vértice superior ao inferior da elipse).
    • b é o semi-eixo menor (metade do comprimento do eixo horizontal).
    • c é a distância do centro a cada foco, e satisfaz c^{2}=a^{2}-b^{2}.
  • Observação sobre sinais: escolhemos os focos no eixo y (coordenadas (0,\pm c)), por isso o denominador a^{2} ficou associado a y^{2}. Se o eixo maior estivesse no eixo x, a equação canônica seria \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • Exemplo numérico rápido: se a=5 e c=3, então b^{2}=25-9=16, b=4, e a elipse tem equação \dfrac{y^{2}}{25}+\dfrac{x^{2}}{16}=1. Isso ilustra concretamente como os números aparecem na equação.

Resposta

\dfrac{y^{2}}{a^{2}}+\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1

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