Considere a matriz adjunta de A dada por
\operatorname{adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -3 & 7 \\\\ 2 & x & -4 \\\\ -6 & 1 & 3 \end{array}\right)
e sabendo que \operatorname{det}(A)=6. Determine:
(a) [1.0 ponto ] o valor de x;
(b) [2.0 pontos ] a matriz A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz adjunta de A e o determinante de A. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido.
  • Foi dada
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 5 & -3 & 7 \\\\ 2 & x & -4 \\\\ -6 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
  • Foi informado que \det(A)=6.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar x;
    (b) determinar a matriz A.

Passo 2

Estratégia para encontrar x. Vou usar a propriedade dos determinantes e da adjunta: para uma matriz quadrada n\times n vale
\det(\operatorname{adj}(A))=\det(A)^{\,n-1}.
Aqui n=3, então
\det(\operatorname{adj}(A))=\det(A)^{2}.
Como \det(A)=6, tem-se \det(\operatorname{adj}(A))=6^{2}=36. Portanto posso calcular o determinante da matriz dada (a adjunta) e igualá-lo a 36 para obter x.

Passo 3

Cálculo do determinante da matriz \operatorname{adj}(A). Chamo a matriz dada de M:
M=\begin{pmatrix} 5 & -3 & 7 \\\\ 2 & x & -4 \\\\ -6 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Faço a expansão por primeira linha (fórmula: \det(M)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}, onde M_{ij} é o determinante do menor correspondente):
  • O menor associado a a_{11}=5 é
\det\begin{pmatrix} x & -4 \\[4pt] 1 & 3 \end{pmatrix}=x\cdot 3-(-4)\cdot 1=3x+4.
  • O menor associado a a_{12}=-3 é
\det\begin{pmatrix} 2 & -4 \\[4pt] -6 & 3 \end{pmatrix}=2\cdot 3-(-4)(-6)=6-24=-18.
  • O menor associado a a_{13}=7 é
\det\begin{pmatrix} 2 & x \\[4pt] -6 & 1 \end{pmatrix}=2\cdot 1 - x\cdot(-6)=2+6x.
Agora
\det(M)=5(3x+4)-(-3)(-18)+7(2+6x).
Calculo termo a termo:
5(3x+4)=15x+20,\qquad -(-3)(-18)=-54,\qquad 7(2+6x)=14+42x.
Somando:
\det(M)=15x+20-54+14+42x=57x-20.]

Passo 4

Igualo o determinante calculado com 36 (conforme Passo 2):
57x-20=36.
Resolvo para x:
57x=56 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{56}{57}.

Passo 5

Agora vou determinar a matriz A. Uso a identidade que relaciona a adjunta duas vezes com A: para n=3 vale
\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))=\det(A)\,A.
Essa identidade é muito útil porque conheço \operatorname{adj}(A) (é a matriz M com x já encontrado) e \det(A)=6. Assim
A=\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))=\frac{1}{6}\,\operatorname{adj}(M).
Logo, preciso calcular a adjunta de M, isto é, a transposta da matriz dos cofatores de M. Vou calcular os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j} vezes o determinante do menor correspondente.

Passo 6

Cálculo dos cofatores de M (substituindo x=\tfrac{56}{57} onde necessário).
  • C_{11}: menor de a_{11}
\det\begin{pmatrix}\tfrac{56}{57} & -4 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}=\tfrac{56}{57}\cdot 3 -(-4)\cdot 1=\tfrac{168}{57}+4=\tfrac{132}{19}.
Como C_{11} tem sinal +, C_{11}=\tfrac{132}{19}.
  • C_{12}: menor de a_{12}
\det\begin{pmatrix}2 & -4 \\[4pt] -6 & 3\end{pmatrix}= -18,
sinal de C_{12} é -, então C_{12}=-(-18)=18.
  • C_{13}: menor de a_{13}
\det\begin{pmatrix}2 & \tfrac{56}{57} \\[4pt] -6 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1 - \tfrac{56}{57}\cdot(-6)=2+\tfrac{336}{57}= \tfrac{150}{19}.
Sinal +, logo C_{13}=\tfrac{150}{19}.
  • C_{21}: menor de a_{21}
\det\begin{pmatrix}-3 & 7 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}=(-3)\cdot 3 -7\cdot 1=-16,
sinal de C_{21} é -, então C_{21}=-(-16)=16.
  • C_{22}: menor de a_{22}
\det\begin{pmatrix}5 & 7 \\[4pt] -6 & 3\end{pmatrix}=5\cdot 3 -7\cdot(-6)=15+42=57,
sinal +, então C_{22}=57.
  • C_{23}: menor de a_{23}
\det\begin{pmatrix}5 & -3 \\[4pt] -6 & 1\end{pmatrix}=5\cdot 1 -(-3)\cdot(-6)=5-18=-13,
sinal de C_{23} é -, logo C_{23}=-(-13)=13.
  • C_{31}: menor de a_{31}
\det\begin{pmatrix}-3 & 7 \\[4pt] \tfrac{56}{57} & -4\end{pmatrix}=(-3)(-4)-7\cdot\tfrac{56}{57}=12-\tfrac{392}{57}=\tfrac{292}{57},
sinal +, então C_{31}=\tfrac{292}{57}.
  • C_{32}: menor de a_{32}
\det\begin{pmatrix}5 & 7 \\[4pt] 2 & -4\end{pmatrix}=5(-4)-7\cdot 2=-20-14=-34,
sinal de C_{32} é -, então C_{32}=-(-34)=34.
  • C_{33}: menor de a_{33}
\det\begin{pmatrix}5 & -3 \\[4pt] 2 & \tfrac{56}{57}\end{pmatrix}=5\cdot \tfrac{56}{57}-(-3)\cdot 2=\tfrac{280}{57}+6=\tfrac{622}{57},
sinal +, então C_{33}=\tfrac{622}{57}.
Assim a matriz dos cofatores é
C=\begin{pmatrix} \tfrac{132}{19} & 18 & \tfrac{150}{19} \\\\ 16 & 57 & 13 \\\ \tfrac{292}{57} & 34 & \tfrac{622}{57} \end{pmatrix}.]

Passo 7

A adjunta de M é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(M)=C^{T}= \begin{pmatrix} \tfrac{132}{19} & 16 & \tfrac{292}{57} \\\\ 18 & 57 & 34 \\\ \tfrac{150}{19} & 13 & \tfrac{622}{57} \end{pmatrix}.
Pela fórmula do Passo 5,
A=\frac{1}{6}\,\operatorname{adj}(M).
Dividindo cada entrada por 6 obtém-se
A=\begin{pmatrix} \dfrac{132}{19}\cdot\dfrac{1}{6} & \dfrac{16}{6} & \dfrac{292}{57}\cdot\dfrac{1}{6} \\[6pt] \dfrac{18}{6} & \dfrac{57}{6} & \dfrac{34}{6} \\[6pt] \dfrac{150}{19}\cdot\dfrac{1}{6} & \dfrac{13}{6} & \dfrac{622}{57}\cdot\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}.
Simplificando as frações:
A=\begin{pmatrix} \dfrac{22}{19} & \dfrac{8}{3} & \dfrac{146}{171} \\[6pt] 3 & \dfrac{19}{2} & \dfrac{17}{3} \\[6pt] \dfrac{25}{19} & \dfrac{13}{6} & \dfrac{311}{171} \end{pmatrix}.]

Resposta

x=\dfrac{56}{57}
A=\begin{pmatrix} \dfrac{22}{19} & \dfrac{8}{3} & \dfrac{146}{171} \\\\ 3 & \dfrac{19}{2} & \dfrac{17}{3} \\\ \dfrac{25}{19} & \dfrac{13}{6} & \dfrac{311}{171} \end{pmatrix}

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