Dtermine a equação de uma hipérbole cujo eixo real, que é paralelo ao eixo \overrightarrow{O Y}, mede 10, o eixo imaginário medindo 6 e o centro geométrico sendo o ponto C_{o}(2,3).
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado pede: determinar a equação da hipérbole.
Informações fornecidas:
O eixo real (transversal) mede 10.
O eixo imaginário (conjugado) mede 6.
O eixo real é paralelo ao eixo \overrightarrow{O Y} (ou seja, a hipérbole tem o eixo transverso na direção vertical).
O centro geométrico é o ponto C_{o}(2,3).
Passo 2
Entender as fórmulas padrão de uma hipérbole centrada em (h,k) e a interpretação geométrica das constantes.
Para uma hipérbole com centro em (h,k) e eixo transverso horizontal a forma padrão é
\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.
Para uma hipérbole com centro em (h,k) e eixo transverso vertical a forma padrão é
\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1.
Aqui:
(h,k) é o centro da hipérbole.
a>0 é o semi-eixo real (metade do comprimento do eixo real/transverso).
b>0 é o semi-eixo imaginário (metade do comprimento do eixo conjugado).
Os vértices estão a distância a do centro ao longo do eixo transverso.
A relação entre a,b e a distância focal c (distância do centro aos focos) é
c=\sqrt{a^2+b^2}.
Vou explicar por que a segunda forma (com (y-k)^2 positivo) é a adequada: o sinal positivo na primeira fração indica a direção do eixo transverso. Se o eixo transverso é vertical, o termo (y-k)^2 fica positivo primeiro, portanto a forma correta é \dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1.
Passo 3
Traduzir os comprimentos dos eixos para a e b.
O enunciado diz que o eixo real (transversal) mede 10. O eixo real tem comprimento 2a, logo
2a=10 \quad\Rightarrow\quad a=5.
O enunciado diz que o eixo imaginário (conjugado) mede 6. O eixo imaginário tem comprimento 2b, logo
2b=6 \quad\Rightarrow\quad b=3.
Também calculo os quadrados que aparecem na equação padrão:
a^2=5^2=25,\qquad b^2=3^2=9.
Passo 4
Substituir as informações na forma padrão escolhida (e explicar o que cada símbolo representa aqui).
O centro é (h,k)=(2,3).
Como o eixo transverso é vertical, a forma padrão é
\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1,
onde:
(h,k)=(2,3) é o centro,
a^2=25 e b^2=9 são os quadrados dos semi-eixos que acabamos de achar.
Passo 5
Verificações adicionais (úteis para entender/checar a resposta na prova).
Vértices: ficam no centro deslocados por a ao longo do eixo transverso (vertical), isto é,
(2,\,3\pm a) = (2,\,3\pm 5),
ou seja, vértices em (2,-2) e (2,8).
Distância focal: primeiro calculo c por
c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}.
Os focos ficam em
(2,\,3\pm \sqrt{34}).
Esses resultados confirmam que a hipérbole tem eixo transverso vertical e estão coerentes com a e b que usamos.