1. [1,0 ponto ] Uma empresa de manufatura utiliza uma máquina específica para produzir peças de metal. O tempo de produção de cada peça (em horas) segue uma distribuição gama com os parâmetros \alpha=3 e \beta=2. (a) Determine a fdp para o tempo de produção de uma peça. (b) Qual é a probabilidade de que o tempo de produção de uma peça seja inferior a 4 horas?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de produção T de uma peça segue uma distribuição Gama com parâmetros de forma \alpha=3 e escala \beta=2. Precisamos (a) escrever a densidade de probabilidade f_T(t) e (b) calcular a probabilidade \Pr(T<4). Para isso vamos usar a fórmula geral da pdf da Gama e a expressão do CDF para parâmetro de forma inteiro.

Passo 2

A pdf da distribuição Gama é dada por
f_T(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\,\beta^\alpha}\,t^{\alpha-1}e^{-t/\beta},\quad t>0.
Substituindo \alpha=3, \beta=2 e lembrando que \Gamma(3)=2!\,=2, temos
f_T(t) =\frac{1}{2\cdot 2^3}\,t^{3-1}e^{-t/2} =\frac{1}{16}\,t^2e^{-t/2},\quad t>0.

Passo 3

Para \Pr(T<4) usamos a CDF da Gama com \alpha inteiro, que pode ser escrita como
F_T(x) =1 - e^{-x/\beta}\sum_{k=0}^{\alpha-1}\frac{(x/\beta)^k}{k!}.
Logo, com x=4, \beta=2 e \alpha=3,
\Pr(T<4) =1 - e^{-4/2}\Bigl(1+\frac{4/2}{1!}+\frac{(4/2)^2}{2!}\Bigr) =1 - e^{-2}\bigl(1+2+2^2/2\bigr) =1 - 5e^{-2}.
Numericamente, 5e^{-2}\approx0,6767, então \Pr(T<4)\approx0,3233.

Resposta

(a) \displaystyle f_T(t)=\frac{1}{16}\,t^2e^{-t/2},\\ t>0.
(b) \displaystyle \Pr(T<4)=1 - 5e^{-2}\approx0,3233.

Exercícios relacionados