[1,5 ponto] Encontre a transformação linear T(x ; y), onde: T(1 ;-1)=(5 ; 0 ; 1) e T(2 ; 0)=(6 ; 2 ; 4), e calcule o vetor resultante da transformação do vetor barv=(3 ;-1).

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma transformação linear TcolonR^2toR^3 que satisfaz
T(1,-1)=(5,0,1)
T(2,0)=(6,2,4)
e, em seguida, calcular T(3,-1). Como essas duas imagens definem T num sistema de vetores linearmente independentes, usaremos coordenadas nessa base.

Passo 2

Denotemos
Isso dá o sistema
Da segunda equação segue (\alpha=-y]. Substituindo na primeira,

Passo 3

Pela linearidade de T temos
T(x,y)=alpha,T(b1)+beta,T(b2) =(-y),(5,0,1) +x+y2,(6,2,4)
Agora calculamos cada componente:
  1. Primeira: -5y + tfracx+y2cdot 6 = -5y +3(x+y)=3x-2y
  2. Segunda: 0cdot(-y)+tfracx+y2cdot2 = x+y
  3. Terceira: -ycdot1+tfracx+y2cdot4 = -y+2(x+y)=2x+y

Passo 4

Portanto, para todo (x,y),
T(x,y)=(3x-2y,;x+y,;2x+y)

Passo 5

Finalmente, para bar v=(3,-1) temos
T(3,-1)=(3cdot3-2cdot(-1),;3+(-1),;2cdot3+(-1))=(11,2,5)

Resposta

T(x,y)=(3x-2y,;x+y,;2x+y)
T(3,-1)=(11,2,5)

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