[1,5 ponto] Encontre a transformação linear
, onde:
e
, e calcule o vetor resultante da transformação do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede encontrar uma transformação linear
que satisfaz
e, em seguida, calcular
. Como essas duas imagens definem
num sistema de vetores linearmente independentes, usaremos coordenadas nessa base.
Passo 2
Denotemos
Isso dá o sistema
Da segunda equação segue (\alpha=-y]. Substituindo na primeira,
Passo 3
Pela linearidade de
temos
Agora calculamos cada componente:
- Primeira:
- Segunda:
- Terceira:
Passo 4
Portanto, para todo
,
Passo 5
Finalmente, para
temos