Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em
:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função de duas variáveis
é diferenciável no ponto
onde
.
O conteúdo necessário é a definição de diferenciabilidade para funções de várias variáveis e o fato de que, se as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de , então
é diferenciável em
.
O conteúdo necessário é a definição de diferenciabilidade para funções de várias variáveis e o fato de que, se as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de
. Usando a regra do produto e as derivadas de
, temos
Passo 3
Avaliar as derivadas parciais em
:
Passo 4
Escrever o aproximante linear (diferencial) de
em
. Chamando
temos
O resto fica
Passo 5
Verificar que
. Como
e
são suaves, pela expansão em série em torno de
ou pelo fato de que
e
são contínuas, segue que
Logo o erro de aproximar
por
é pequeno em ordem superior a
.
Passo 6
Pelo critério de diferenciabilidade (existência de derivadas parciais contínuas ou definição via resto
), concluímos que
é diferenciável em
.
Resposta
A função
é diferenciável em
, com derivadas parciais
e diferencial