Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis em (0,0):
Z=cos x cos y, P0=(0, pi2, 0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função de duas variáveis
f(x,y)=cos x;cos y
é diferenciável no ponto
P0=(0,tfracpi2,0),
onde f(0,tfracpi2)=0.
O conteúdo necessário é a definição de diferenciabilidade para funções de várias variáveis e o fato de que, se as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança de P0, então f é diferenciável em P0.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Usando a regra do produto e as derivadas de cos, temos
fx(x,y)=partialpartial x(cos xcos y) =-sin x;cos y,
fy(x,y)=partialpartial y(cos xcos y) =-cos x;sin y

Passo 3

Avaliar as derivadas parciais em (x,y)=(0,tfracpi2):
fx(0,tfracpi2) =-sin 0;cos!l(tfracpi2r)=0cdot0=0,
fy(0,tfracpi2) =-cos 0;sin!l(tfracpi2r) =-1cdot1=-1

Passo 4

Escrever o aproximante linear (diferencial) de f em P0. Chamando
h=x-0, k=y-tfracpi2,
temos
L(h,k) =f(0,tfracpi2) +fx(0,tfracpi2),h +fy(0,tfracpi2),k =0 + 0cdot h + (-1)cdot k = -,k
O resto fica
R(h,k) =f(0+h,tfracpi2+k)-L(h,k) =cos(x)cos(y)+k

Passo 5

Verificar que R(h,k)=ol(|(h,k)|r). Como cos e sin são suaves, pela expansão em série em torno de (0,tfracpi2) ou pelo fato de que fx e fy são contínuas, segue que
lim(h,k)to(0,0)R(h,k)raizh^2+k^2=0
Logo o erro de aproximar f por L é pequeno em ordem superior a raizh^2+k^2.

Passo 6

Pelo critério de diferenciabilidade (existência de derivadas parciais contínuas ou definição via resto o(|(h,k)|)), concluímos que f é diferenciável em (0,tfracpi2).

Resposta

A função ,f(x,y)=cos xcos y é diferenciável em ,(0,tfracpi2), com derivadas parciais
fx(0,tfracpi2)=0, fy(0,tfracpi2)=-1,
e diferencial
df(0,tfracpi2)(h,k)=-k

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