No jogo de ficção científica “Dimensões Paralelas”, os jogadores pilotam uma nave espacial que atravessa portais interdimensionais. Cada portal aplica uma transformação linear à velocidade da nave, representada por um vetor em R^3. O Portal Zeta aplica a seguinte transformação linear T: R^3 R^3, definida por T(x ; y ; z)=(y+z ; x-z ; 2 x-y). No entanto, se T(barv)=0, a velocidade da nave será nula e ela ficará presa em uma dimensão paralela, ou seja, o jogador perde o jogo.
a) [0,3 ponto] Indique todas as possibilidades de transformação da velocidade da nave no Portal Zeta (para isso indique os vetores que geram a Imagem da transformação).
b) [07 ponto] Indique todas as possibilidades da velocidade da nave ficar nula no Portal Zeta (para isso indique os yetores que geram o Núcleo da transformação).
c) [0,5 ponto] Utilize os 3 últimos digitos da sua matrícula como as coordenadas do vetor da velocidade da nave, faça a transformação no Portal Zeta e responda se sua nave ficará presa em uma dimensão paralela ou não.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(y+z,;x-z,;2x-y)
Precisamos:
  1. Determinar a Imagem de T, isto é, o subespaço gerado pelos vetores–saída.
  2. Determinar o Núcleo de T, isto é, todas as soluções de T(x,y,z)=0.
  3. Aplicar T a um vetor genérico (d1,d2,d3) (os três últimos dígitos da matrícula) e ver se cai no núcleo.

Passo 2

Para achar a Imagem, calculamos a matriz de na base canônica. Note que
Portanto a matriz é
e a Imagem de é o espaço gerado pelas colunas de :
Como , essas colunas são linearmente independentes e geram todo . Logo

Passo 3

Para achar o Núcleo, resolvemos
Isso dá o sistema
Da segunda equação . Da primeira . Da terceira . Assim . Só a solução trivial. Logo

Passo 4

Sejam os três últimos dígitos da sua matrícula (d1,d2,d3). Então
T(d1,d2,d3)=(d2+d3,;d1-d3,;2d1-d2)
Mas vimos que T(v)=0 só ocorre para v=(0,0,0). Assim, a menos que d1=d2=d3=0, você não cai no núcleo e não fica preso.

Resposta

(a)
(b)
(c) Como o único vetor levado a zero é , sua nave só ficaria presa se os três últimos dígitos da matrícula fossem todos zero; caso contrário, ela não ficará presa.

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