Seja uma partícula cuja função posição é dada por:
r(t)=e^t i+raiz2 t j+e^-t k
a) Determine os vetores velocidade e aceleração e a rapidez. (1,0 ponto)
b) Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração. (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a função posição
r(t)=e^t,i+raiz2,t,j+e^-t,k
e pede:
  • (a) o vetor velocidade v(t), o vetor aceleração a(t) e a rapidez |v(t)|.
  • (b) as componentes tangencial aT e normal aN de a(t).
    Para isso usamos as definições
    v(t)=r'(t), a(t)=r''(t), |v| é a norma de v,
    aT=dfracddt|v| e aN=raiz|a|^2 - aT^2.

Passo 2

Derivando termo a termo, a velocidade é
v(t)=r'(t)=e^t,i+raiz2,j-e^-t,k

Passo 3

Derivando novamente, a aceleração fica
a(t)=r''(t)=e^t,i+0cdotj+e^-t,k =e^t,i+e^-t,k

Passo 4

A rapidez é a norma de v(t):
|v(t)| =raizl(e^tr)^2+l(raiz2r)^2+l(-e^-tr)^2 =raize^2t+2+e^-2t =e^t+e^-t

Passo 5

A componente tangencial é a derivada da rapidez:
aT=ddtl(e^t+e^-tr) =e^t-e^-t

Passo 6

Para a componente normal, calculamos
|a(t)|^2=e^2t+e^-2t e
aN=raiz|a|^2 - aT^2 =raizl(e^2t+e^-2tr)-l(e^t-e^-tr)^2 =raiz2

Resposta

a) v(t)=e^t,i+raiz2,j-e^-t,k,
a(t)=e^t,i+e^-t,k e
rapidez |v(t)|=e^t+e^-t.
b) Componente tangencial aT=e^t-e^-t e componente normal aN=raiz2.

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