[1.0 ponto/s)/ Considere as seguintes 3 distribuições de carga elétrica: (I) Um fio retilíneo (infinito) fixo, coincidente com o eixo \mathcal{Z}, com uma densidade linear de carga estacionária, mas não homogênea (não uniforme). (II) Uma casca esférica fina, de carga total Q, com centro fixo, mas raio variável, de modo que sua densidade superficial de carga \sigma(t), é homogênea (uniforme), mas não estacionária. E (III) uma bola esférica fixa, com uma densidade volumétrica de carga estacionária, mas não homogênea. De quais de tais distribuições podemos deduzir, via argumentos de simetria e a lei de Gauss, a expressão para o vetor campo elétrico em um ponto arbitrário?
(a) Somente a II e a III.
(b) Somente a II.
(c) Somente a III.
(d) Somente a I e a II.
(e) Somente a I e a III.
(f) Somente a I.
(g) Todas elas.
(h) Nenhuma delas.

Passo 1

O enunciado pede: identificar de quais das três distribuições de carga (I, II, III) podemos deduzir, usando apenas argumentos de simetria e a lei de Gauss, a expressão do vetor campo elétrico em um ponto arbitrário.
Informações fornecidas sobre as três distribuições:
  • (I) Um fio retilíneo infinito coincidente com o eixo \mathcal{Z}, com densidade linear de carga estacionária, mas não homogênea (não uniforme). Ou seja, a carga linear é uma função da posição ao longo do fio, por exemplo \lambda=\lambda(z).
  • (II) Uma casca esférica fina, de carga total Q, centro fixo, raio variável (isto é, a casca pode expandir/contrair), de modo que a densidade superficial \sigma(t) é homogênea sobre a superfície em cada instante, mas não estacionária no tempo.
  • (III) Uma bola esférica fixa (volume limitado por uma esfera), com densidade volumétrica de carga estacionária, mas não homogênea (isto é, \rho(\vec r) não é uniforme no volume).
O que a questão quer: para cada caso, decidir se é possível usar apenas simetria + lei de Gauss para obter uma expressão para \mathbf{E} em um ponto arbitrário.

Passo 2

Primeiro, resumo das ferramentas que vamos usar (aula rápida e prática sobre Gauss e simetria).
  • A lei de Gauss (forma integral) é
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga dentro da superfície gaussiana S. Esta igualdade vale em eletrostática e, mais geralmente, é sempre verdadeira como uma das equações de Maxwell ( \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0).
  • Contudo, para usar a lei de Gauss para obter explicitamente \mathbf{E} (isto é, para extrair \mathbf{E} do integrando), precisamos que, por simetria, o vetor campo tenha direção conhecida e módulo constante sobre as partes relevantes da superfície gaussiana escolhida. Em outras palavras, só conseguimos escrever \mathbf{E} do tipo E(r)\,\hat{\mathbf{n}} com E dependendo de uma única coordenada, quando a distribuição de carga tem uma simetria suficiente:
    • simetria esférica (dependência só de r): garantir direção radial \hat{\mathbf{r}} e E depende apenas de r;
    • simetria cilíndrica (dependência só de r_\perp radial ao eixo): garantir direção radial cilíndrica e E depende só da distância ao eixo;
    • simetria plana (dependência só de uma coordenada): campo perpendicular uniforme, etc.
Se a distribuição não tem essa simetria (por exemplo depende de z e de \varphi ao mesmo tempo), não há superfície simples onde \mathbf{E} seja constante sobre a superfície, então a lei de Gauss sozinha não dá \mathbf{E} explicitamente.
Vou aplicar esse critério a cada caso, mostrando exemplos simples quando necessário para fixar a ideia.

Passo 3

Análise do caso (I) — fio retilíneo infinito sobre \mathcal{Z} com \lambda não homogênea.
  • Informação-chave: a densidade linear é estacionária (não depende do tempo) mas não homogênea ao longo do fio. Podemos representá-la por \lambda=\lambda(z).
  • Simetria requerida para usar a Gauss: para o fio com \lambda= constante (homogênea), há simetria de translação ao longo do eixo \mathcal{Z} e simetria de rotação em torno do eixo; então o campo é puramente radial (direção \hat{\boldsymbol{\rho}} em coordenadas cilíndricas) e depende apenas da distância radial \rho ao eixo; a Gauss com superfície cilíndrica dá E(\rho)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,\rho}(caso \lambda constante).
  • Quando \lambda=\lambda(z) (não homogênea): a simetria de translação ao longo de \mathcal{Z} é quebrada. Em geral o campo resultante pode variar com z e pode ter componente ao longo de \hat{\mathbf{z}}. Não se pode garantir que \mathbf{E} seja puramente radial nem que seu módulo seja constante sobre a superfície lateral de um cilindro coaxial. Portanto a escolha de uma superfície gaussiana cilíndrica não permite extrair E por simples fatorização.
  • Conclusão para (I): não é possível, em geral, deduzir a expressão do vetor campo elétrico em um ponto arbitrário apenas por simetria + Gauss quando \lambda não é uniforme. (Se a fita fosse uniforme, sim — mas aqui especificam não homogênea.)

Passo 4

Análise do caso (II) — casca esférica fina com carga total Q, centro fixo, raio variável, \sigma(t) homogênea (mas temporalmente variável).
  • Informação-chave: em cada instante o carregamento sobre a casca é homogêneo sobre a superfície esférica — isto é, a densidade superficial tem o mesmo valor em qualquer ponto da superfície para aquele instante. Isso garante simetria esférica instantânea.
  • Simetria esférica implica: o campo elétrico em qualquer ponto deve ser radial (direção \hat{\mathbf{r}}) e seu módulo depende apenas da distância radial r ao centro.
  • Aplicando Gauss com uma superfície esférica concêntrica de raio r:
    • para r>R(t) (fora da casca), a carga envolvida é Q, logo \oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad \mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.
    • para r<R(t) (dentro da casca fina), não há carga interna, logo E(r)=0\quad\text{e}\quad \mathbf{E}(r)=\mathbf{0}.
  • Observação sobre a dependência temporal: o enunciado permite que \sigma varie com o tempo (casca expandindo/contraindo). A simetria esférica está preservada em cada instante, e a lei de Gauss (forma integral de Maxwell) continua válida. Para movimentos puramente radiais e com simetria esférica não ocorre radiação multipolar (não entraremos em detalhes avançados), de modo que a determinação do campo por simetria e Gauss é válida instante a instante. Em resumo: pela simetria esférica uniforme instantânea, Gauss permite obter \mathbf{E} para qualquer r, mesmo que \sigma=\sigma(t).
  • Conclusão para (II): sim — podemos deduzir a expressão do campo elétrico em um ponto arbitrário (fora e dentro) usando simetria + Gauss.

Passo 5

Análise do caso (III) — bola esférica fixa com densidade volumétrica estacionária mas não homogênea.
  • Informação-chave: \rho(\vec r) é estacionária (não depende do tempo) porém não homogênea no volume. A frase “não homogênea” indica que a densidade espacial não é uniforme; o ponto crucial é: não foi afirmado que a densidade é função apenas de r (isto é, que seja esfericamente simétrica).
  • Dois subcasos importantes a ter em mente (para entender a diferença):
    • Se a densidade for só função do raio, \rho=\rho(r) (isto é, não homogênea mas esfericamente simétrica), então existe simetria esférica e Gauss funciona: \mathbf{E}(r)=\dfrac{Q_{\text{enc}}(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\hat{\mathbf{r}} com Q_{\text{enc}}(r)=\displaystyle\int_{0}^{r}4\pi r'^{2}\rho(r')\,dr'.
    • Se a densidade não for esfericamente simétrica (por exemplo \rho=\rho(r,\theta,\varphi) com variação angular), então não há simetria suficiente: o campo em um ponto dependerá de direções e não será puramente radial ou de módulo constante sobre esferas concêntricas. A lei de Gauss só dá a relação entre fluxo e carga interna, mas não permite extrair \mathbf{E} sem informações adicionais (solução de Poisson/integração direta).
  • O enunciado diz apenas “não homogênea” e a figura ilustra uma distribuição claramente assimétrica (sombreado parcial). Portanto a interpretação natural é que a densidade é arbitrariamente não uniforme, sem simetria esférica.
  • Conclusão para (III): em geral, NÃO é possível obter a expressão do campo em um ponto arbitrário apenas por simetria + Gauss, a menos que se tenha a informação adicional de que \rho depende apenas de r. Como essa informação não foi dada, não podemos usar Gauss sozinho.

Passo 6

Síntese final (motivação curta e decisão):
  • (I): não — a não-uniformidade ao longo do fio quebra a simetria necessária para aplicar Gauss e extrair \mathbf{E}.
  • (II): sim — a casca é uniformemente carregada em cada instante (simetria esférica), então Gauss + simetria determinam \mathbf{E} (fora: \mathbf{E}=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^{2}}\hat{\mathbf{r}}; dentro: \mathbf{E}=\mathbf{0}).
  • (III): não, em geral — sem garantia de simetria esférica (apenas “não homogênea” estacionária) não dá para deduzir \mathbf{E} com Gauss sozinho.
Portanto, apenas a distribuição (II) satisfaz o critério pedido.

Resposta

(b)

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