1. Um tubo de comprimento L possui uma extremidade fechada e a outra aberta. Uma corda esticada de comprimento l e massa m é colocada perto da extremidade aberta. A corda está fixa nas duas extremidades e oscila no modo fundamental. Devido à ressonância, ela faz a coluna de ar no tubo oscilar na frequência fundamental. Determine a frequência fundamental da columa de ar. Dados: velocidade do som v_{s} vale 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • O que o enunciado pede: determinar a frequência fundamental da coluna de ar dentro do tubo.
  • Informações fornecidas:
    • O tubo tem comprimento L.
    • Uma extremidade do tubo está fechada e a outra está aberta.
    • Há uma corda esticada, de comprimento l e massa m, fixa nas duas extremidades e oscilando no modo fundamental; por ressonância ela faz a coluna de ar oscilar na mesma frequência.
    • A velocidade do som no ar é v_{s}=343\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação importante (apenas levantada aqui, sem resolver): a coluna de ar tem modos naturais determinados pelo tipo de extremidades (uma aberta e outra fechada) e pelo comprimento L. A corda aciona a coluna por ressonância, ou seja, a coluna oscila na mesma frequência que a corda, mas a frequência fundamental da coluna é determinada geometricamente pelo tubo.

Passo 2

Entender as condições de contorno para uma coluna de ar com uma extremidade fechada e a outra aberta.
  • O que é um nodo e um antinodo de deslocamento:
    • Nodo de deslocamento: ponto onde o deslocamento do ar é sempre (praticamente) zero.
    • Antinodo de deslocamento: ponto onde o deslocamento do ar varia com máxima amplitude.
  • Condições nas extremidades:
    • Extremidade fechada: o ar não pode se deslocar macroscopicamente para fora do tubo, logo há um nodo de deslocamento na extremidade fechada.
    • Extremidade aberta: o ar pode oscilar livremente, então há um antinodo de deslocamento na extremidade aberta.
  • Essas condições (nodo em uma extremidade e antinodo na outra) fixam a forma das ondas estacionárias permitidas no tubo.

Passo 3

Determinar como a forma do modo fundamental se relaciona com o comprimento de onda.
  • Para ondas estacionárias em um tubo aberto em uma extremidade e fechado na outra, o modo fundamental tem exatamente um quarto de comprimento de onda dentro do tubo: um nodo em uma extremidade e um antinodo na outra.
  • Portanto, para o modo fundamental vale
L=\frac{\lambda}{4},
onde \lambda é o comprimento de onda da onda sonora correspondente ao modo fundamental.

Passo 4

Usar a relação entre velocidade de onda, frequência e comprimento de onda para obter a frequência.
  • Relação básica de ondas (fundamental para qualquer onda linear):
v=f\lambda,
onde v é a velocidade da onda, f é a frequência e \lambda é o comprimento de onda.
  • Aqui v=v_{s} (velocidade do som) e \lambda=4L (da etapa anterior). Substituindo:
v_{s}=f\,(4L).
  • Isolando f:
f=\frac{v_{s}}{4L}.

Passo 5

Explicar o significado físico e as unidades; comentar por que os dados da corda não são necessários para a expressão final.
  • Interpretação: a frequência fundamental da coluna de ar depende apenas da velocidade do som no meio e do comprimento do tubo, porque o modo fundamental corresponde a \lambda=4L.
  • Unidade: se v_{s} está em \mathrm{m/s} e L em \mathrm{m}, então f fica em \mathrm{s^{-1}} (hertz).
  • Sobre a corda: a corda, ao oscilar no modo fundamental, simplesmente fornece a excitação na frequência que pode coincidir com a frequência da coluna. Mas a frequência fundamental da coluna é fixada por L e v_{s}; por isso os parâmetros l e m da corda não entram na fórmula final (a menos que o problema exigisse relacionar tensão da corda para encontrar que frequência ela produz — aí usaríamos a fórmula da corda).

Passo 6

Substituir o valor numérico dado para v_{s} (se quiser uma expressão com número).
  • Substituindo v_{s}=343\\ \mathrm{m/s} obtemos
f=\frac{343}{4L}=\frac{85{,}75}{L}\\ \mathrm{Hz},
onde L deve estar em metros para obter f em hertz.

Resposta

f=\frac{v_{s}}{4L}=\frac{343}{4L}=\frac{85{,}75}{L}\\ \mathrm{Hz}

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