- Um tubo de comprimento
possui uma extremidade fechada e a outra aberta. Uma corda esticada de comprimento
e massa
é colocada perto da extremidade aberta. A corda está fixa nas duas extremidades e oscila no modo fundamental. Devido à ressonância, ela faz a coluna de ar no tubo oscilar na frequência fundamental. Determine a frequência fundamental da columa de ar. Dados: velocidade do som
vale
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- O que o enunciado pede: determinar a frequência fundamental da coluna de ar dentro do tubo.
- Informações fornecidas:
- O tubo tem comprimento
. - Uma extremidade do tubo está fechada e a outra está aberta.
- Há uma corda esticada, de comprimento
e massa , fixa nas duas extremidades e oscilando no modo fundamental; por ressonância ela faz a coluna de ar oscilar na mesma frequência. - A velocidade do som no ar é
.
- O tubo tem comprimento
- Observação importante (apenas levantada aqui, sem resolver): a coluna de ar tem modos naturais determinados pelo tipo de extremidades (uma aberta e outra fechada) e pelo comprimento
. A corda aciona a coluna por ressonância, ou seja, a coluna oscila na mesma frequência que a corda, mas a frequência fundamental da coluna é determinada geometricamente pelo tubo.
Passo 2
Entender as condições de contorno para uma coluna de ar com uma extremidade fechada e a outra aberta.
- O que é um nodo e um antinodo de deslocamento:
- Nodo de deslocamento: ponto onde o deslocamento do ar é sempre (praticamente) zero.
- Antinodo de deslocamento: ponto onde o deslocamento do ar varia com máxima amplitude.
- Condições nas extremidades:
- Extremidade fechada: o ar não pode se deslocar macroscopicamente para fora do tubo, logo há um nodo de deslocamento na extremidade fechada.
- Extremidade aberta: o ar pode oscilar livremente, então há um antinodo de deslocamento na extremidade aberta.
- Essas condições (nodo em uma extremidade e antinodo na outra) fixam a forma das ondas estacionárias permitidas no tubo.
Passo 3
Determinar como a forma do modo fundamental se relaciona com o comprimento de onda.
- Para ondas estacionárias em um tubo aberto em uma extremidade e fechado na outra, o modo fundamental tem exatamente um quarto de comprimento de onda dentro do tubo: um nodo em uma extremidade e um antinodo na outra.
- Portanto, para o modo fundamental vale
onde
é o comprimento de onda da onda sonora correspondente ao modo fundamental.
Passo 4
Usar a relação entre velocidade de onda, frequência e comprimento de onda para obter a frequência.
- Relação básica de ondas (fundamental para qualquer onda linear):
onde
é a velocidade da onda,
é a frequência e
é o comprimento de onda.
- Aqui
(velocidade do som) e (da etapa anterior). Substituindo:
- Isolando
:
Passo 5
Explicar o significado físico e as unidades; comentar por que os dados da corda não são necessários para a expressão final.
- Interpretação: a frequência fundamental da coluna de ar depende apenas da velocidade do som no meio e do comprimento do tubo, porque o modo fundamental corresponde a
. - Unidade: se
está em e em , então fica em (hertz). - Sobre a corda: a corda, ao oscilar no modo fundamental, simplesmente fornece a excitação na frequência que pode coincidir com a frequência da coluna. Mas a frequência fundamental da coluna é fixada por
e ; por isso os parâmetros e da corda não entram na fórmula final (a menos que o problema exigisse relacionar tensão da corda para encontrar que frequência ela produz — aí usaríamos a fórmula da corda).
Passo 6
Substituir o valor numérico dado para
(se quiser uma expressão com número).
- Substituindo
obtemos
onde
deve estar em metros para obter
em hertz.