[Sears]
12.52 •• Um módulo espacial de massa igual a 12.500 kg está em uma órbita circular 5,75 \times 10^{5} sobre a superfície de um planeta. O período da órbita é 5.800 s . Os astronautas no módulo medem o diâmetro do planeta e obtêm 9,60 \times 10^{6} \mathrm{~m}. O módulo espacial pousa no polo norte do planeta. Qual é o peso de um astronauta de 85,6 \mathrm{~kg} ao descer à superfície do planeta?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes números do enunciado) e o que é pedido.
Dados:
  • Massa do módulo espacial: m_{\rm mod}=12{,}500\\ \mathrm{kg} (não vai influenciar o peso do astronauta; por enquanto só anotar).
  • Altitude da órbita acima da superfície: h=5{,}75\times10^{5}\\ \mathrm{m}.
  • Período orbital: T=5{,}800\\ \mathrm{s}.
  • Diâmetro do planeta medido pelos astronautas: D=9{,}60\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Massa do astronauta: m_{\rm a}=85{,}6\\ \mathrm{kg}.
O que o enunciado pede:
  • Peso do astronauta ao descer à superfície do planeta (ou seja, a força gravitacional que atua sobre ele quando está na superfície): isto é, calcular W=m_{\rm a}\,g_{\rm superf\acute{\i}cie}.
Observação útil (já que aparece no enunciado): a massa do módulo não entra no cálculo do peso do astronauta na superfície; o que precisamos é da aceleração gravitacional na superfície, g_{\rm superf\acute{\i}cie}, que vamos obter a partir dos dados da órbita e do raio do planeta.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar — explicando devagar:
  • A força gravitacional que um planeta exerce sobre um corpo de massa m na distância r do centro é dada pela Lei da Gravitação de Newton:
F_G=\frac{G M m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional e M é a massa do planeta. A aceleração gravitacional nessa distância é, portanto,
g(r)=\frac{G M}{r^{2}}.
  • Para um satélite em órbita circular de raio r e período T, a condição de órbita (força gravitacional fornece a força centrípeta) leva à relação de Kepler (ou derivando das equações):
T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G M}}.
Dessa fórmula podemos isolar o produto G M (que costuma ser chamado de parâmetro gravitacional \mu):
\mu\equiv G M=\frac{4\pi^{2} r^{3}}{T^{2}}.
  • Uma vez que temos \mu, a aceleração gravitacional na superfície (distância R do centro) é
g_{\rm superf\acute{\i}cie}=\frac{\mu}{R^{2}}.
  • Finalmente o peso do astronauta na superfície será
W=m_{\rm a}\,g_{\rm superf\acute{\i}cie}.
Importante: a massa do módulo cancela nas equações da órbita (a expressão para T não depende da massa do satélite), logo aquela massa não é necessária no cálculo do peso do astronauta.

Passo 3

Calcular o raio do planeta e o raio da órbita (peguei estes valores do enunciado):
  • Raio do planeta:
R=\frac{D}{2}=\frac{9{,}60\times10^{6}}{2}=4{,}80\times10^{6}\\ \mathrm{m}.
  • Raio da órbita (distância do centro do planeta até o módulo):
r=R+h=4{,}80\times10^{6}+5{,}75\times10^{5}=5{,}375\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o parâmetro gravitacional \mu=G M usando a fórmula com o período:
\mu=\frac{4\pi^{2} r^{3}}{T^{2}}.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro r^{3}:
r^{3}=(5{,}375\times10^{6})^{3}=1{,}55287109375\times10^{20}\\ \mathrm{m^{3}}
(para manter clareza, esse é o produto de 5{,}375^{3} por 10^{18}). Então
4\pi^{2}\approx39{,}4784176,
portanto o numerador é aproximadamente
4\pi^{2} r^{3}\approx39{,}4784176\times1{,}55287109375\times10^{20}\approx6{,}130489\times10^{21}.
O denominador é
T^{2}=(5{,}800)^{2}=33{,}640{,}000=3{,}3640\times10^{7}.
Dividindo:
\mu\approx\frac{6{,}130489\times10^{21}}{3{,}3640\times10^{7}}\approx1{,}82\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-2}}.
(Arredondei \mu para três algarismos significativos, compatível com os dados fornecidos.)

Passo 5

Calcular a aceleração gravitacional na superfície:
g_{\rm superf\acute{\i}cie}=\frac{\mu}{R^{2}}.
Com R=4{,}80\times10^{6}\\ \mathrm{m} temos
R^{2}=(4{,}80\times10^{6})^{2}=2{,}304\times10^{13}\\ \mathrm{m^{2}}.
Logo
g_{\rm superf\acute{\i}cie}\approx\frac{1{,}82\times10^{14}}{2{,}304\times10^{13}}\approx7{,}91\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.

Passo 6

Calcular o peso do astronauta na superfície:
W=m_{\rm a}\,g_{\rm superf\acute{\i}cie}=85{,}6\times7{,}91\\ \mathrm{N}.
Fazendo a multiplicação:
W\approx677{,}1\\ \mathrm{N}.
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos), obtemos W\approx677\\ \mathrm{N}.
Parabéns — fizemos passo a passo: usamos os dados da órbita para obter \mu=GM, depois calculamos g na superfície e finalmente o peso. Vai com calma na prova: decorando a sequência (usar T para obter \mu, depois g=\mu/R^{2}) você resolve rápido esse tipo de questão.

Resposta

677\\ \mathrm{N}

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