[Sears]
12.52 •• Um módulo espacial de massa igual a 12.500 kg está em uma órbita circular
sobre a superfície de um planeta. O período da órbita é 5.800 s . Os astronautas no módulo medem o diâmetro do planeta e obtêm
. O módulo espacial pousa no polo norte do planeta. Qual é o peso de um astronauta de
ao descer à superfície do planeta?
12.52 •• Um módulo espacial de massa igual a 12.500 kg está em uma órbita circular
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes números do enunciado) e o que é pedido.
Dados:
- Massa do módulo espacial:
(não vai influenciar o peso do astronauta; por enquanto só anotar). - Altitude da órbita acima da superfície:
. - Período orbital:
. - Diâmetro do planeta medido pelos astronautas:
. - Massa do astronauta:
.
O que o enunciado pede:
- Peso do astronauta ao descer à superfície do planeta (ou seja, a força gravitacional que atua sobre ele quando está na superfície): isto é, calcular .
Observação útil (já que aparece no enunciado): a massa do módulo não entra no cálculo do peso do astronauta na superfície; o que precisamos é da aceleração gravitacional na superfície,
, que vamos obter a partir dos dados da órbita e do raio do planeta.
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar — explicando devagar:
- A força gravitacional que um planeta exerce sobre um corpo de massa
na distância do centro é dada pela Lei da Gravitação de Newton:
onde
é a constante gravitacional e
é a massa do planeta. A aceleração gravitacional nessa distância é, portanto,
- Para um satélite em órbita circular de raio
e período , a condição de órbita (força gravitacional fornece a força centrípeta) leva à relação de Kepler (ou derivando das equações):
Dessa fórmula podemos isolar o produto
(que costuma ser chamado de parâmetro gravitacional
):
- Uma vez que temos
, a aceleração gravitacional na superfície (distância do centro) é
- Finalmente o peso do astronauta na superfície será
Importante: a massa do módulo cancela nas equações da órbita (a expressão para
não depende da massa do satélite), logo aquela massa não é necessária no cálculo do peso do astronauta.
Passo 3
Calcular o raio do planeta e o raio da órbita (peguei estes valores do enunciado):
- Raio do planeta:
- Raio da órbita (distância do centro do planeta até o módulo):
Passo 4
Calcular o parâmetro gravitacional
usando a fórmula com o período:
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro
:
(para manter clareza, esse é o produto de
por
). Então
portanto o numerador é aproximadamente
O denominador é
Dividindo:
(Arredondei
para três algarismos significativos, compatível com os dados fornecidos.)
Passo 5
Calcular a aceleração gravitacional na superfície:
Com
temos
Logo
Passo 6
Calcular o peso do astronauta na superfície:
Fazendo a multiplicação:
Arredondando de forma razoável (três algarismos significativos), obtemos
.
Parabéns — fizemos passo a passo: usamos os dados da órbita para obter
, depois calculamos
na superfície e finalmente o peso. Vai com calma na prova: decorando a sequência (usar
para obter
, depois
) você resolve rápido esse tipo de questão.