[1,0 ponto] (2) Seja
para
. É possível definir
de forma a tornar
contínua na origem? Por quê? Justifique suas respostas!
Passo 1
O enunciado define a função
para
, e pergunta se podemos escolher
de modo que
seja contínua na origem. Para isso precisamos verificar se
existe e é único.
Passo 2
Analisamos a aproximação pela reta
. Substituindo
em
obtemos
Logo
Passo 3
Analisamos a aproximação pela reta
. Substituindo
em
obtemos
Logo
Passo 4
Os limites por caminhos distintos dão valores diferentes (
e
). Isso mostra que
não existe. Sem um limite único não há como definir
para tornar
contínua na origem.
Resposta
Não é possível. O limite de
em
depende do caminho de aproximação, logo não existe valor único para estender
de forma contínua.