[1,0 ponto] (2) Seja f(x, y)=2 x^2-3 y^23 x^2+2 y^2 para (x, y) neq(0,0). É possível definir f(0,0) de forma a tornar f contínua na origem? Por quê? Justifique suas respostas!

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = 2x^2 - 3y^23x^2 + 2y^2,
para (x,y)neq(0,0), e pergunta se podemos escolher f(0,0) de modo que f seja contínua na origem. Para isso precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)
existe e é único.

Passo 2

Analisamos a aproximação pela reta y=0. Substituindo y=0 em f obtemos
f(x,0) = 2x^2 - 3cdot 0^23x^2 + 2cdot 0^2 = 2x^23x^2 = 23
Logo
limxto0 f(x,0) = 23

Passo 3

Analisamos a aproximação pela reta x=0. Substituindo x=0 em f obtemos
f(0,y) = 2cdot 0^2 - 3y^23cdot 0^2 + 2y^2 = -3y^22y^2 = -32
Logo
limyto0 f(0,y) = -32

Passo 4

Os limites por caminhos distintos dão valores diferentes ( tfrac23 e -tfrac32). Isso mostra que
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)
não existe. Sem um limite único não há como definir f(0,0) para tornar f contínua na origem.

Resposta

Não é possível. O limite de f(x,y) em (0,0) depende do caminho de aproximação, logo não existe valor único para estender f de forma contínua.

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