Questão 1. (6.0 pontos) Resolva cada PVI a seguir:
(3.0 pontos)
r y^prime prime+4 y^prime+3 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=4

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' + 4y' + 3y = 0
com condições y(0)=2 e y'(0)=4. Vamos usar o método da equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y=e^rt, o que leva a
r^2 + 4r + 3 = 0
Resolvendo esta equação quadrática, encontramos suas raízes.

Passo 3

Calculamos as raízes usando fatoração:
r^2 + 4r + 3 = (r+1)(r+3)=0
logo as raízes são r=-1 e r=-3. Para equação linear homogênea com raízes reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-3t

Passo 4

Para aplicar as condições iniciais, precisamos da derivada
y'(t) = -C1 e^-t -3C2 e^-3t

Passo 5

Usamos
Resolvendo, de .

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
y(t) = 5 e^-t - 3 e^-3t

Resposta

y(t) = 5 e^-t - 3 e^-3t

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