IIIQ- Nos Problemas 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: $ y’’ - 2y’ - 3y = 3 $. Aqui, estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é $ y’’ - 2y’ - 3y = 0 $. Para isso, usamos a equação característica. A forma geral da equação característica para uma equação linear de segunda ordem $ ay’’ + by’ + cy = 0 $ é:
No nosso caso, os coeficientes são:
- $ a = 1 $
- $ b = -2 $
- $ c = -3 $
Então, a equação característica fica:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
Isso nos dá duas soluções:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_p $) para a equação completa $ y’’ - 2y’ - 3y = 3 $. Como o lado direito da equação é uma constante, vamos tentar uma solução particular também como uma constante. Vamos supor que:
Onde $ A $ é uma constante a ser determinada. Agora, derivamos $ y_p $:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Resolvendo para $ A $:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.