Com base no seguinte conjunto de dados:
5.3 Os dados a seguir fornecem a população aproximada do mundo em anos selecionados de 1850 até 2000.
Assuma que o crescimento da população possa ser modelado por uma função exponencial
, onde
é o ano e
é a população em bilhões. Linearize essa função (Seção 5.3) e use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar as constantes
e
para as quais a função fornece o melhor ajuste para os dados. Use essa equação para estimar a população em 1970.
5.3 Os dados a seguir fornecem a população aproximada do mundo em anos selecionados de 1850 até 2000.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Ajustar uma função exponencial
aos dados fornecidos (onde é o ano e é a população em bilhões), usando linearização e regressão linear por mínimos quadrados para determinar as constantes e . - Usar essa função ajustada para estimar a população no ano
.
Informações dadas pelo enunciado:
- Diz que há um conjunto de dados com anos de
até , e que devemos usar esses dados para ajustar o modelo exponencial. - Não há, porém, a tabela numérica dos pares
incluída na sua mensagem. Ou seja, os valores concretos de anos e populações não foram fornecidos aqui.
Observação importante: como os cálculos numéricos dependem diretamente dos valores das populações nos anos fornecidos, não é possível obter numericamente os valores de
,
nem a estimativa para
sem a tabela de dados. A seguir eu vou explicar passo a passo, didaticamente, como proceder assim que você tiver os dados — para que você consiga aplicar na prova sem erro.
Passo 2
Linearização da função exponencial (a ideia e por que fazemos isso)
-
Nosso modelo é
, onde: -
é o ano (por exemplo, ), -
é a população em bilhões, -
e são constantes desconhecidas que queremos estimar.
-
-
Tomamos o logaritmo natural dos dois lados para transformar o modelo exponencial em um modelo linear. Isso facilita o uso dos mínimos quadrados (que são simples para modelos lineares).Definimos agoraAssim obtemos o modelo linear
-
Interpretação:
-
é o log da população (unidade sem dimensão). -
é o intercepto da reta no eixo ; depois recuperamos por . -
é a inclinação da reta em termos do crescimento no log da população por unidade de ano.
-
Passo 3
Regressão linear por mínimos quadrados (fórmulas e como calcular)
Suponha que temos
observações
. Para aplicar mínimos quadrados fazemos:
- Calcular
para cada observação (usar log natural). - Calcular as somas necessárias:
- As fórmulas dos mínimos quadrados para ajustar
são:
- Expliquei o que cada termo significa:
é a soma dos anos, soma dos logs das populações, etc. - Essas fórmulas vêm de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos
e resolver as duas equações normais resultantes.
Passo 4
Recuperar
e usar o modelo para prever
- Depois de achar
e , recuperamos: Assim o modelo original fica - Para estimar a população no ano
, avaliamos Atenção prática: multiplicar por anos grandes (por exemplo ) pode produzir números inconvenientes. Por isso, é comum centrar os anos subtraindo um ano de referência (por exemplo ou ) antes de fazer a regressão. Isso não muda o ajuste em essência, só torna os números menores e o cálculo mais estável numericamente. Se fizer isso: - Ajuste o modelo na forma
com . - Depois, para predizer em
, calcule e avalie . - Se precisar do
original: .
- Ajuste o modelo na forma
Passo 5
Passo a passo prático, em ordem, para você aplicar na prova sem calculadora (ou com calculadora simples)
- Pegue os dados
fornecidos na tabela. - Se quiser estabilidade, escolha uma referência
(por exemplo ou ) e compute . Se não quiser complicar, mantenha originais — só tome cuidado com números grandes. - Para cada
, calcule . (Use log natural.) - Calcule
. - Use as fórmulas:
- Calcule
. - Estime
(ou, se usou , estime com : ). - Interprete o resultado em bilhões (a unidade do
). Trate arredondamento com bom senso (duas casas decimais geralmente bastam em estimativas populacionais).
Dica didática: faça as somas em uma tabela organizada (colunas para
,
,
,
,
). Somar tudo no final evita erros.
Passo 6
Exemplo ilustrativo (apenas para ver como as fórmulas funcionam; não usa seus dados reais)
Suponha que, só para ver a mecânica, tivéssemos 3 pontos fictícios:
. Eu faria:
- Calcular
para cada . - Calcular
. - Aplicar as fórmulas para obter
e . - Calcular
. - Finalmente calcular
(ou melhor: trabalhar com e calcular ).
Mas atenção: esse exemplo é inventado só para mostrar a sequência; os números resultantes não correspondem aos seus dados reais.
Resposta
Impossível determinar numericamente
e a estimativa de
porque a tabela com os valores dos anos e das populações não foi fornecida na sua mensagem.