Com base no seguinte conjunto de dados:
5.3 Os dados a seguir fornecem a população aproximada do mundo em anos selecionados de 1850 até 2000.
Assuma que o crescimento da população possa ser modelado por uma função exponencial p=b e^{m x}, onde x é o ano e p é a população em bilhões. Linearize essa função (Seção 5.3) e use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar as constantes b e m para as quais a função fornece o melhor ajuste para os dados. Use essa equação para estimar a população em 1970.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Ajustar uma função exponencial \displaystyle p = b e^{m x} aos dados fornecidos (onde x é o ano e p é a população em bilhões), usando linearização e regressão linear por mínimos quadrados para determinar as constantes b e m.
  2. Usar essa função ajustada para estimar a população no ano \displaystyle 1970.
Informações dadas pelo enunciado:
  • Diz que há um conjunto de dados com anos de \displaystyle 1850 até \displaystyle 2000, e que devemos usar esses dados para ajustar o modelo exponencial.
  • Não há, porém, a tabela numérica dos pares (x_i,p_i) incluída na sua mensagem. Ou seja, os valores concretos de anos e populações não foram fornecidos aqui.
Observação importante: como os cálculos numéricos dependem diretamente dos valores das populações nos anos fornecidos, não é possível obter numericamente os valores de \displaystyle b, \displaystyle m nem a estimativa para \displaystyle 1970 sem a tabela de dados. A seguir eu vou explicar passo a passo, didaticamente, como proceder assim que você tiver os dados — para que você consiga aplicar na prova sem erro.

Passo 2

Linearização da função exponencial (a ideia e por que fazemos isso)
  • Nosso modelo é \displaystyle p = b e^{m x}, onde:
    • \displaystyle x é o ano (por exemplo, \displaystyle 1850,1860,\dots),
    • \displaystyle p é a população em bilhões,
    • \displaystyle b e \displaystyle m são constantes desconhecidas que queremos estimar.
  • Tomamos o logaritmo natural dos dois lados para transformar o modelo exponencial em um modelo linear. Isso facilita o uso dos mínimos quadrados (que são simples para modelos lineares).
    \ln p = \ln(b e^{m x}) = \ln b + m x.
    Definimos agora
    y = \ln p,\qquad A = \ln b.
    Assim obtemos o modelo linear
    y = A + m x.
  • Interpretação:
    • y é o log da população (unidade sem dimensão).
    • A é o intercepto da reta no eixo y; depois recuperamos b por b = e^{A}.
    • m é a inclinação da reta em termos do crescimento no log da população por unidade de ano.

Passo 3

Regressão linear por mínimos quadrados (fórmulas e como calcular)
Suponha que temos n observações (x_1,p_1),\dots,(x_n,p_n). Para aplicar mínimos quadrados fazemos:
  1. Calcular y_i = \ln p_i para cada observação (usar log natural).
  2. Calcular as somas necessárias: S_x=\sum_{i=1}^n x_i,\qquad S_y=\sum_{i=1}^n y_i,\qquad S_{xx}=\sum_{i=1}^n x_i^2,\qquad S_{xy}=\sum_{i=1}^n x_i y_i.
  3. As fórmulas dos mínimos quadrados para ajustar y = A + m x são: m = \frac{n S_{xy} - S_x S_y}{n S_{xx} - (S_x)^2},
A = \frac{S_y - m S_x}{n}.
  • Expliquei o que cada termo significa: S_x é a soma dos anos, S_y soma dos logs das populações, etc.
  • Essas fórmulas vêm de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos \sum (y_i - A - m x_i)^2 e resolver as duas equações normais resultantes.

Passo 4

Recuperar \displaystyle b e usar o modelo para prever
  • Depois de achar A e m, recuperamos: b = e^{A}.Assim o modelo original fica p(x) = b e^{m x}.
  • Para estimar a população no ano \displaystyle 1970, avaliamos p(1970) = b e^{m\cdot 1970}.Atenção prática: multiplicar m por anos grandes (por exemplo \displaystyle 1970) pode produzir números inconvenientes. Por isso, é comum centrar os anos subtraindo um ano de referência (por exemplo \displaystyle x' = x - 1900 ou \displaystyle x' = x - 1850) antes de fazer a regressão. Isso não muda o ajuste em essência, só torna os números menores e o cálculo mais estável numericamente. Se fizer isso:
    • Ajuste o modelo na forma \displaystyle p = b' e^{m x'} com x' = x - x_0.
    • Depois, para predizer em \displaystyle 1970, calcule x'_{1970}=1970-x_0 e avalie p(1970)=b' e^{m x'_{1970}}.
    • Se precisar do b original: b = b' e^{m x_0}.

Passo 5

Passo a passo prático, em ordem, para você aplicar na prova sem calculadora (ou com calculadora simples)
  1. Pegue os dados (x_i,p_i) fornecidos na tabela.
  2. Se quiser estabilidade, escolha uma referência x_0 (por exemplo x_0=1900 ou 1850) e compute x'_i = x_i - x_0. Se não quiser complicar, mantenha x_i originais — só tome cuidado com números grandes.
  3. Para cada i, calcule y_i = \ln p_i. (Use log natural.)
  4. Calcule n,\\ S_x=\sum x_i,\\ S_y=\sum y_i,\\ S_{xx}=\sum x_i^2,\\ S_{xy}=\sum x_i y_i.
  5. Use as fórmulas: m = \frac{n S_{xy} - S_x S_y}{n S_{xx} - (S_x)^2},\qquad A = \frac{S_y - m S_x}{n}.
  6. Calcule b = e^{A}.
  7. Estime p(1970) = b e^{m\cdot 1970} (ou, se usou x'=x-x_0, estime com x'_{1970}=1970-x_0: p(1970)=b' e^{m x'_{1970}}).
  8. Interprete o resultado em bilhões (a unidade do p). Trate arredondamento com bom senso (duas casas decimais geralmente bastam em estimativas populacionais).
Dica didática: faça as somas em uma tabela organizada (colunas para x_i, p_i, y_i=\ln p_i, x_i^2, x_i y_i). Somar tudo no final evita erros.

Passo 6

Exemplo ilustrativo (apenas para ver como as fórmulas funcionam; não usa seus dados reais)
Suponha que, só para ver a mecânica, tivéssemos 3 pontos fictícios: (x_1,p_1)=(1900,1{,}6),(x_2,p_2)=(1950,2{,}5),(x_3,p_3)=(2000,6{,}1). Eu faria:
  • Calcular y_i=\ln p_i para cada i.
  • Calcular S_x,S_y,S_{xx},S_{xy}.
  • Aplicar as fórmulas para obter m e A.
  • Calcular b=e^{A}.
  • Finalmente calcular p(1970)=b e^{m\cdot 1970} (ou melhor: trabalhar com x'=x-1900 e calcular p(1970)=b' e^{m\cdot 70}).
Mas atenção: esse exemplo é inventado só para mostrar a sequência; os números resultantes não correspondem aos seus dados reais.

Resposta

Impossível determinar numericamente \;b,\;m e a estimativa de \;p(1970)\; porque a tabela com os valores dos anos e das populações não foi fornecida na sua mensagem.

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