É muito comum na engenharia a utilização de modelos onde uma dada variável é dada em função de mais de uma variável independente.
Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pelo seguinte equação:
Q=a_{0} \cdot S^{\frac{a_{1}}{2}}
Onde S é a inclinação ( f t / f t ), Q é vazão \left(f t^{3} / s\right), a_{0} e a_{1} são parâmetros do modelo.
Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:
EXPERIMENTO INCLINAÇÃO (\mathrm{S}) VAZÃO (\mathrm{Q})
1 0.001 1.4
2 0.01 28.9
3 0.05 200
4 0.1 250
Sabendo-se que deseja-se aplicar o modelo para a estimação de vazão em tubos com diâmetro entre 2 f t e 3 f t, estimar os parâmetros a_{0} e a_{1}.

Passo 1

O enunciado fornece o modelo
Q = a_{0} \cdot S^{\frac{a_{1}}{2}}
onde S é a inclinação (unidade ft/ft), Q é a vazão (unidade ft^{3}/s) e a_{0}, a_{1} são parâmetros desconhecidos a estimar. Foram medidos quatro pontos (dados experimentais):
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Experimento} & S & Q\\hline 1 & 0{,}001 & 1{,}4\\hline 2 & 0{,}01 & 28{,}9\\hline 3 & 0{,}05 & 200\\hline 4 & 0{,}1 & 250\\hline \end{array}
A pergunta clara é: estimar os parâmetros a_{0} e a_{1} do modelo usando esses dados. O enunciado também menciona que o modelo será aplicado em tubos de diâmetro entre 2\,ft e 3\,ft — essa é uma condição de aplicação, mas os dados fornecidos não dependem explicitamente do diâmetro; portanto vamos estimar a_{0} e a_{1} a partir dos pares (S,Q) fornecidos.

Passo 2

Por que transformar o problema? O modelo tem potência: Q varia como uma constante vezes S elevada a uma potência. Uma forma padrão e conveniente é aplicar o logaritmo natural para transformar esse tipo de relação numa regressão linear. Isso facilita a estimação dos parâmetros por mínimos quadrados (que é uma técnica para ajustar uma reta aos pontos transformados). Vamos fazer a transformação e definir as variáveis do ajuste:
Aplicando log natural em ambos os lados,
\ln Q = \ln a_{0} + \frac{a_{1}}{2}\,\ln S.
Se definirmos
x = \ln S,\qquad y = \ln Q,
então obtemos uma relação linear
y = \beta_{0} + \beta_{1}\,x,
onde
\beta_{0} = \ln a_{0},\qquad \beta_{1} = \frac{a_{1}}{2}.
Nossa tarefa passa a ser estimar \beta_{0} e \beta_{1} por regressão linear simples (mínimos quadrados) e depois recuperar a_{0} e a_{1} por
a_{0} = e^{\beta_{0}},\qquad a_{1} = 2\beta_{1}.
Explicando a fórmula de mínimos quadrados (sem jargões): se temos n pontos (x_{i},y_{i}), as estimativas pela reta y=\beta_{0}+\beta_{1}x são dadas por
\beta_{1} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}
e
\beta_{0} = \bar{y} - \beta_{1}\,\bar{x},
onde
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i},\qquad \bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}.
Vou calcular essas quantidades passo a passo com os dados transformados.

Passo 3

Calcular x_{i}=\ln S_{i} e y_{i}=\ln Q_{i} para cada experimento:
Para o experimento 1:
S_{1}=0{,}001\quad\Rightarrow\quad x_{1}=\ln(0{,}001)=\ln(10^{-3})=-3\ln(10)=-6{,}907755279
Q_{1}=1{,}4\quad\Rightarrow\quad y_{1}=\ln(1{,}4)=0{,}336472237
Para o experimento 2:
S_{2}=0{,}01\quad\Rightarrow\quad x_{2}=\ln(0{,}01)=\ln(10^{-2})=-2\ln(10)=-4{,}605170186
Q_{2}=28{,}9\quad\Rightarrow\quad y_{2}=\ln(28{,}9)=3{,}363841595
Para o experimento 3:
S_{3}=0{,}05\quad\Rightarrow\quad x_{3}=\ln(0{,}05)=\ln(5)-\ln(100)=-2{,}995732274
Q_{3}=200\quad\Rightarrow\quad y_{3}=\ln(200)=5{,}298317366
Para o experimento 4:
S_{4}=0{,}1\quad\Rightarrow\quad x_{4}=\ln(0{,}1)=-2{,}302585093
Q_{4}=250\quad\Rightarrow\quad y_{4}=\ln(250)=5{,}521460918
Também vamos precisar de x_{i}y_{i} e x_{i}^{2} para as somas; calculei-os numericamente (mostro as somas no passo seguinte).

Passo 4

Calcular as somas necessárias (com n=4):
Somas individuais (arredondadas com precisão suficiente para o cálculo):
\sum_{i=1}^{4} x_{i} = -6{,}907755279 -4{,}605170186 -2{,}995732274 -2{,}302585093 = -16{,}811242832
\sum_{i=1}^{4} y_{i} = 0{,}336472237 + 3{,}363841595 + 5{,}298317366 + 5{,}521460918 = 14{,}520092116
\sum_{i=1}^{4} x_{i}y_{i} \approx -2{,}324267776 -15{,}491066825 -15{,}872338588 -12{,}713633316 = -46{,}401306505
\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2} \approx 47{,}717095 + 21{,}20759244 + 8{,}974412 + 5{,}30189811 = 83{,}20099755
Observação rápida sobre precisão: usei aproximações decimais com precisão suficiente para a regressão; em prova, é aceitável usar esse nível numérico ou calculadora para as somas.

Passo 5

Calcular as médias:
\bar{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}x_{i}=\frac{-16{,}811242832}{4}=-4{,}202810708
\bar{y}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{4}y_{i}=\frac{14{,}520092116}{4}=3{,}630023029

Passo 6

Calcular os somatórios centrais que entram em \beta_{1}:
Usamos as formas equivalentes
S_{xy}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n\bar{x}\bar{y}, \qquad S_{xx}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\bar{x}^{2}.
Substituindo os valores:
S_{xy}=-46{,}401306505 - 4\cdot(-4{,}202810708)\cdot(3{,}630023029)\approx 14{,}623885992
S_{xx}=83{,}20099755 - 4\cdot(-4{,}202810708)^{2}\approx 12{,}546501259

Passo 7

Calcular os coeficientes da reta ajustada:
A inclinação estimada (que é \beta_{1}) é
\beta_{1} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \approx \frac{14{,}623885992}{12{,}546501259} \approx 1{,}165564.
O intercepto estimado (que é \beta_{0}=\ln a_{0}) é
\beta_{0} = \bar{y} - \beta_{1}\bar{x} \approx 3{,}630023029 - 1{,}165564\cdot(-4{,}202810708) \approx 8{,}528670638.
Aqui fiz a conta passo a passo: \beta_{1}\bar{x}\approx 1{,}165564\cdot(-4{,}202810708)\approx -4{,}898647609, então \beta_{0}\approx 3{,}630023029 -(-4{,}898647609)=8{,}528670638.

Passo 8

Voltar ao modelo original para obter a_{0} e a_{1}:
Como \beta_{0}=\ln a_{0}, temos
a_{0} = e^{\beta_{0}} = e^{8{,}528670638} \approx 5057{,}1.
Como \beta_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}, temos
a_{1} = 2\,\beta_{1} \approx 2\cdot 1{,}165564 = 2{,}331128.
Interpretação curta e incentivo: isso significa que o melhor ajuste log-linear aos dados obtidos dá uma constante de escala a_{0} na ordem de 5{,}06\times 10^{3} e um expoente a_{1} cerca de 2{,}33. Em prova, o procedimento é sempre o mesmo para modelos do tipo potência: linearizar com log, ajustar por mínimos quadrados e transformar de volta. Você já fez o mais difícil — a ideia — agora é só reproduzir as contas com calma que dá certo!

Resposta

a_{0}\approx 5057{,}1
a_{1}\approx 2{,}331128

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