É muito comum na engenharia a utilização de modelos onde uma dada variável é dada em função de mais de uma variável independente.
Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pelo seguinte equação:
Onde
é a inclinação (
),
é vazão
e
são parâmetros do modelo.
Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:
EXPERIMENTO
INCLINAÇÃO
VAZÃO
1
0.001
1.4
2
0.01
28.9
3
0.05
200
4
0.1
250
Sabendo-se que deseja-se aplicar o modelo para a estimação de vazão em tubos com diâmetro entre
e
, estimar os parâmetros
e
.
Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pelo seguinte equação:
Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:
| EXPERIMENTO | INCLINAÇÃO
|
VAZÃO
|
| 1 | 0.001 | 1.4 |
| 2 | 0.01 | 28.9 |
| 3 | 0.05 | 200 |
| 4 | 0.1 | 250 |
Passo 1
O enunciado fornece o modelo
onde
é a inclinação (unidade
),
é a vazão (unidade
) e
,
são parâmetros desconhecidos a estimar. Foram medidos quatro pontos (dados experimentais):
A pergunta clara é: estimar os parâmetros
e
do modelo usando esses dados. O enunciado também menciona que o modelo será aplicado em tubos de diâmetro entre
e
— essa é uma condição de aplicação, mas os dados fornecidos não dependem explicitamente do diâmetro; portanto vamos estimar
e
a partir dos pares
fornecidos.
Passo 2
Por que transformar o problema? O modelo tem potência:
varia como uma constante vezes
elevada a uma potência. Uma forma padrão e conveniente é aplicar o logaritmo natural para transformar esse tipo de relação numa regressão linear. Isso facilita a estimação dos parâmetros por mínimos quadrados (que é uma técnica para ajustar uma reta aos pontos transformados). Vamos fazer a transformação e definir as variáveis do ajuste:
Aplicando log natural em ambos os lados,
Se definirmos
então obtemos uma relação linear
onde
Nossa tarefa passa a ser estimar
e
por regressão linear simples (mínimos quadrados) e depois recuperar
e
por
Explicando a fórmula de mínimos quadrados (sem jargões): se temos
pontos
, as estimativas pela reta
são dadas por
e
onde
Vou calcular essas quantidades passo a passo com os dados transformados.
Passo 3
Calcular
e
para cada experimento:
Para o experimento 1:
Para o experimento 2:
Para o experimento 3:
Para o experimento 4:
Também vamos precisar de
e
para as somas; calculei-os numericamente (mostro as somas no passo seguinte).
Passo 4
Calcular as somas necessárias (com
):
Somas individuais (arredondadas com precisão suficiente para o cálculo):
Observação rápida sobre precisão: usei aproximações decimais com precisão suficiente para a regressão; em prova, é aceitável usar esse nível numérico ou calculadora para as somas.
Passo 5
Calcular as médias:
Passo 6
Calcular os somatórios centrais que entram em
:
Usamos as formas equivalentes
Substituindo os valores:
Passo 7
Calcular os coeficientes da reta ajustada:
A inclinação estimada (que é
) é
O intercepto estimado (que é
) é
Aqui fiz a conta passo a passo:
, então
.
Passo 8
Voltar ao modelo original para obter
e
:
Como
, temos
Como
, temos
Interpretação curta e incentivo: isso significa que o melhor ajuste log-linear aos dados obtidos dá uma constante de escala
na ordem de
e um expoente
cerca de
. Em prova, o procedimento é sempre o mesmo para modelos do tipo potência: linearizar com log, ajustar por mínimos quadrados e transformar de volta. Você já fez o mais difícil — a ideia — agora é só reproduzir as contas com calma que dá certo!