A Uma sociedade empresária contraiu um empréstimo de
12.000,00
10 %$ ao ano. O contrato oferece duas opções de pagamento: Opção A: Sistema de Amortização Constante (SAC). Opção B: Sistema de Amortização Francês (PRICE). Com base no valor da primeira parcela em cada sistema e na evolução das parcelas ao longo do período, é correto concluir que
A. A primeira parcela no PRICE será maior que no SAC, mas o PRICE possui maior equilíbrio de valores ao longo do período.
B. No PRICE, o valor dos juros decresce ao longo do período, enquanto no SAC os juros são constantes.
C. A primeira parcela do SAC será maior que a do PRICE, mas o SAC possui parcelas decrescentes, enquanto o PRICE apresenta parcelas iguais.
D. O SAC possui parcelas crescentes, enquanto o PRICE apresenta parcelas decrescentes ao longo do tempo.
A. A primeira parcela no PRICE será maior que no SAC, mas o PRICE possui maior equilíbrio de valores ao longo do período.
B. No PRICE, o valor dos juros decresce ao longo do período, enquanto no SAC os juros são constantes.
C. A primeira parcela do SAC será maior que a do PRICE, mas o SAC possui parcelas decrescentes, enquanto o PRICE apresenta parcelas iguais.
D. O SAC possui parcelas crescentes, enquanto o PRICE apresenta parcelas decrescentes ao longo do tempo.
Passo 1
O enunciado dá um empréstimo de
a ser pago em
parcelas anuais, com taxa de juros de
ao ano. Há duas opções de amortização: SAC (Sistema de Amortização Constante) e PRICE (Sistema Francês). O exercício pede que se escolha, entre as alternativas A–D, a conclusão correta com base no valor da primeira parcela em cada sistema e na evolução das parcelas ao longo do período.
Informações relevantes do enunciado:
- Valor presente (principal):
. - Número de parcelas:
. - Taxa de juros anual:
. - Sistemas a comparar: SAC (amortização constante) e PRICE (parcelas constantes).
Passo 2
Explicar o SAC e calcular a primeira parcela no SAC.
No SAC a amortização do principal é constante em cada período; ou seja, a parte do principal paga a cada ano é
Aqui:
Os juros de cada período são calculados sobre o saldo devedor do início do período:
. A parcela é a soma da amortização mais os juros:
Cálculo da primeira parcela no SAC:
Para ver a evolução, calculemos as demais parcelas (rápido):
- Após o primeiro pagamento, saldo =
. - Após o segundo pagamento, saldo =
.
Conclusão parcial: no SAC as parcelas são decrescentes:
.
Passo 3
Explicar o PRICE (Sistema Francês) e calcular a parcela no PRICE.
No sistema PRICE as parcelas
são iguais em todos os períodos e são a anuidade que tem valor presente igual ao empréstimo. A fórmula que relaciona
e
é
Isolando
:
Aplicando com
,
e
. Primeiro calcule
:
Logo
. Então
Portanto
Primeira parcela no PRICE:
No PRICE a parcela é igual todos os anos:
. A componente de juros em cada parcela é
e a amortização é
. Como o saldo devedor diminui, a parte juros diminui e a parte amortização aumenta, mas a parcela
permanece constante.
Passo 4
Comparação direta das primeiras parcelas e da evolução ao longo do tempo.
- Primeira parcela SAC:
. - Primeira parcela PRICE:
.
Logo a primeira parcela no SAC é maior do que no PRICE.
Evolução das parcelas:
- No SAC as parcelas decrescem no tempo (mostramos
). - No PRICE as parcelas são todas iguais (
em cada ano).
Passo 5
Comportamento dos juros (componentes das parcelas).
Em ambos os sistemas os juros pagos em cada período são calculados sobre o saldo devedor do início do período, logo os juros diminuem ao longo do tempo porque o saldo devedor vai sendo amortizado. Portanto:
- É falso dizer que no SAC os juros são constantes — no SAC os juros também diminuem a cada período (ex.:
). - No PRICE os juros também decrescem ao longo do período, embora as parcelas totais permaneçam iguais.
Passo 6
Conclusão final em palavras (sem apresentar a letra aqui): os cálculos mostram que (i) a primeira parcela no SAC é maior que a primeira parcela no PRICE; (ii) no SAC as parcelas são decrescentes; (iii) no PRICE as parcelas são iguais.
Resposta
C.