A Uma sociedade empresária contraiu um empréstimo de \mathrm{R} \ 12.000,00 para ser pago em três parcelas anuais, com taxa de juros deê10 %$ ao ano. O contrato oferece duas opções de pagamento: Opção A: Sistema de Amortização Constante (SAC). Opção B: Sistema de Amortização Francês (PRICE). Com base no valor da primeira parcela em cada sistema e na evolução das parcelas ao longo do período, é correto concluir que
A. A primeira parcela no PRICE será maior que no SAC, mas o PRICE possui maior equilíbrio de valores ao longo do período.
B. No PRICE, o valor dos juros decresce ao longo do período, enquanto no SAC os juros são constantes.
C. A primeira parcela do SAC será maior que a do PRICE, mas o SAC possui parcelas decrescentes, enquanto o PRICE apresenta parcelas iguais.
D. O SAC possui parcelas crescentes, enquanto o PRICE apresenta parcelas decrescentes ao longo do tempo.

Passo 1

O enunciado dá um empréstimo de \mathrm{R}\$\,12\,000,00 a ser pago em 3 parcelas anuais, com taxa de juros de 10\% ao ano. Há duas opções de amortização: SAC (Sistema de Amortização Constante) e PRICE (Sistema Francês). O exercício pede que se escolha, entre as alternativas A–D, a conclusão correta com base no valor da primeira parcela em cada sistema e na evolução das parcelas ao longo do período.
Informações relevantes do enunciado:
  • Valor presente (principal): PV = 12\,000.
  • Número de parcelas: n = 3.
  • Taxa de juros anual: i = 10\% = 0,10.
  • Sistemas a comparar: SAC (amortização constante) e PRICE (parcelas constantes).

Passo 2

Explicar o SAC e calcular a primeira parcela no SAC.
No SAC a amortização do principal é constante em cada período; ou seja, a parte do principal paga a cada ano é
\text{amortização} = \frac{PV}{n}.çã
Aqui:
\text{amortização} = \frac{12\,000}{3} = 4\,000.çã
Os juros de cada período são calculados sobre o saldo devedor do início do período: \text{juros}_k = \text{saldo}_{k-1}\cdot i. A parcela é a soma da amortização mais os juros:
\text{parcela}_k = \text{amortização} + \text{juros}_k.çã
Cálculo da primeira parcela no SAC:
\text{juros}_1 = 12\,000 \cdot 0{,}10 = 1\,200,
\text{parcela}_1^{\text{SAC}} = 4\,000 + 1\,200 = 5\,200.
Para ver a evolução, calculemos as demais parcelas (rápido):
  • Após o primeiro pagamento, saldo = 12\,000 - 4\,000 = 8\,000. \text{juros}_2 = 8\,000\cdot0{,}10 = 800,\qquad \text{parcela}_2^{\text{SAC}} = 4\,000 + 800 = 4\,800.
  • Após o segundo pagamento, saldo = 8\,000 - 4\,000 = 4\,000. \text{juros}_3 = 4\,000\cdot0{,}10 = 400,\qquad \text{parcela}_3^{\text{SAC}} = 4\,000 + 400 = 4\,400.
Conclusão parcial: no SAC as parcelas são decrescentes: 5\,200,\;4\,800,\;4\,400.

Passo 3

Explicar o PRICE (Sistema Francês) e calcular a parcela no PRICE.
No sistema PRICE as parcelas R são iguais em todos os períodos e são a anuidade que tem valor presente igual ao empréstimo. A fórmula que relaciona R e PV é
R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} = PV.
Isolando R:
R = PV\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Aplicando com PV=12\,000, i=0{,}10 e n=3. Primeiro calcule (1+i)^3:
(1+i)^3 = 1{,}1^3 = 1{,}331.
Logo (1+i)^{-3} = \dfrac{1}{1{,}331} \approx 0{,}7513148. Então
1 - (1+i)^{-n} \approx 1 - 0{,}7513148 = 0{,}2486852.
Portanto
R \approx 12\,000\cdot\frac{0{,}10}{0{,}2486852} = \frac{1\,200}{0{,}2486852} \approx 4\,826{,}68.
Primeira parcela no PRICE:
\text{parcela}_1^{\text{PRICE}} = R \approx 4\,826{,}68.
No PRICE a parcela é igual todos os anos: R,R,R. A componente de juros em cada parcela é \text{juros}_k = \text{saldo}_{k-1}\cdot i e a amortização é R-\text{juros}_k. Como o saldo devedor diminui, a parte juros diminui e a parte amortização aumenta, mas a parcela R permanece constante.

Passo 4

Comparação direta das primeiras parcelas e da evolução ao longo do tempo.
  • Primeira parcela SAC: \text{parcela}_1^{\text{SAC}} = 5\,200.
  • Primeira parcela PRICE: \text{parcela}_1^{\text{PRICE}} \approx 4\,826{,}68.
Logo a primeira parcela no SAC é maior do que no PRICE.
Evolução das parcelas:
  • No SAC as parcelas decrescem no tempo (mostramos 5\,200 \to 4\,800 \to 4\,400).
  • No PRICE as parcelas são todas iguais ( \approx 4\,826{,}68 em cada ano).

Passo 5

Comportamento dos juros (componentes das parcelas).
Em ambos os sistemas os juros pagos em cada período são calculados sobre o saldo devedor do início do período, logo os juros diminuem ao longo do tempo porque o saldo devedor vai sendo amortizado. Portanto:
  • É falso dizer que no SAC os juros são constantes — no SAC os juros também diminuem a cada período (ex.: 1\,200,\;800,\;400).
  • No PRICE os juros também decrescem ao longo do período, embora as parcelas totais permaneçam iguais.

Passo 6

Conclusão final em palavras (sem apresentar a letra aqui): os cálculos mostram que (i) a primeira parcela no SAC é maior que a primeira parcela no PRICE; (ii) no SAC as parcelas são decrescentes; (iii) no PRICE as parcelas são iguais.

Resposta

C.

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