[1] (2,5 pontos) Considere a base beta=i, j, k, uma base ortonormal. Dados u=(1,2,3)E e v= (4,0,-2)E, com E=(1,1,0)beta,(0,2,0)beta,(-1,0,1)beta, calcule |u|,|v|.

Passo 1

O enunciado dá vetores u e v cujas coordenadas são relativas à base E e pede os módulos usando a base beta ortonormal. Para isso vamos:
  1. Expressar u e v no sistema de coordenadas de beta (padrão).
  2. Usar a fórmula do comprimento em R^3:
|,(x,y,z)|=raizx^2+y^2+z^2

Passo 2

As colunas da matriz de mudança de base de E para beta são os vetores
E1=(1,1,0), E2=(0,2,0), E3=(-1,0,1)
em coordenadas de beta. Assim
u =1,E1+2,E2+3,E3 =(1cdot1+2cdot0+3cdot(-1),,1cdot1+2cdot2+3cdot0,,1cdot0+2cdot0+3cdot1) =(-2,5,3)
Logo
|u| =raiz(-2)^2+5^2+3^2 =raiz4+25+9 =raiz38

Passo 3

Analogamente para v=(4,0,-2)E temos
v =4,E1+0,E2+(-2),E3 =(4cdot1+0cdot0+(-2)cdot(-1),,4cdot1+0cdot2+(-2)cdot0,,4cdot0+0cdot0+(-2)cdot1) =(6,4,-2)
e portanto
|v| =raiz6^2+4^2+(-2)^2 =raiz36+16+4 =raiz56 =2raiz14

Resposta

|u|=raiz38, |v|=2raiz14.

Exercícios relacionados