Se I é o ideal dos nilpotentes de um anel A, o único nilpotente em A / I é a classe zero.

Passo 1

O enunciado considera um anel A e o ideal
I = ,ain A mid (a) é nilpotente, é
Queremos mostrar que, no quociente A/I, a única classe nilpotente é a classe zero.

Passo 2

Suponha que uma classe x+Iin A/I seja nilpotente. Isso significa que existe n>=1 tal que
(x+I)^n = 0+I
Mas (x+I)^n = x^n + I, logo
x^n + I = 0 + I Longrightarrow x^n in I

Passo 3

Como x^nin I e I é o conjunto de todos os nilpotentes de A, deduzimos que x^n é nilpotente. Logo, existe m>=1 tal que
(x^n)^m = x^nm = 0
no anel A. Portanto x é nilpotente e, pela definição de I, temos xin I.

Passo 4

Daí x+I = 0+I em A/I. Concluímos que se uma classe em A/I é nilpotente, ela deve ser a classe zero.

Resposta

O único nilpotente em A/I é a classe zero.

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