Se
é o ideal dos nilpotentes de um anel
, o único nilpotente em
é a classe zero.
Passo 1
O enunciado considera um anel
e o ideal
Queremos mostrar que, no quociente
, a única classe nilpotente é a classe zero.
Passo 2
Suponha que uma classe
seja nilpotente. Isso significa que existe
tal que
Mas
, logo
Passo 3
Como
e
é o conjunto de todos os nilpotentes de
, deduzimos que
é nilpotente. Logo, existe
tal que
no anel
. Portanto
é nilpotente e, pela definição de
, temos
.
Passo 4
Daí
em
. Concluímos que se uma classe em
é nilpotente, ela deve ser a classe zero.
Resposta
O único nilpotente em
é a classe zero.